方块矩阵

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线性代数
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方塊矩陣,或简称方阵[1],是行數及列數皆相同的矩陣。由矩陣組成的集合,連同矩陣加法矩陣乘法,构成。除了,此環並不是交换環

M(n, R),即實方塊矩陣環,是個實有单位的結合代數。M(n, C),即複方塊矩陣環,則是複結合代數。

單位矩陣的對角線全是1而其他位置全是0,對所有矩陣矩陣都有。 例如,若

單位矩陣是方塊矩陣環的單位元。

方塊矩陣環的可逆元稱為可逆矩陣非奇异方阵矩陣是可逆當且僅當存在矩陣使得

此時稱為逆矩陣,並記作。 所有矩陣在乘法上組成一個(亦是一個李群),稱為一般線性群

若數字和非零向量满足,則的一個特征向量是其對應的特征值。數字的特征值當且僅當可逆,又當且僅當。這裏,特征多項式。特征多項式是一個次多項式,有个复根(考虑重根),即個特征值。

方塊矩陣行列式是其個特征值的積,但亦可經由莱布尼茨公式計算出來。可逆矩陣正好是那些行列式非零的矩陣。

高斯-若爾當消元法非常重要,可以用来計算矩阵的行例式,秩,逆矩陣,并解決線性方程組

矩陣的迹矩陣的对角线元素之和,也是其個特征值之和。

所有正交矩阵都是方块矩阵。

方块矩阵的等价命题[编辑]

线性代数中,下列关于方块矩阵A的命题是等价的(同时成立,或同时不成立):

  1. A 可逆;A反矩陣存在。
  2. det(A)≠ 0.
  3. rank(A)= n.
  4. Null(A) = 0.
  5. A特征值中没有0。
  6. 对任意b属于FnAx = b有唯一解。
  7. Ax = 0只有平凡解。
  8. ATA可逆。
  9. A与单位矩阵行(列)等价。
  10. A的行向量或列向量張成Fn.
  11. A的零空间只有零向量。
  12. A的值域為Fn.
  13. A的行(列)向量构成Fn (Fn)中向量的线性无关集。

这裡,F为矩阵元素所属的。通常,这个域为实数域或复数域。

  1. ^ [1]國家教育研究院(繁体中文)