方根

「開方」重定向至此。本文介紹的是數學名詞。關於古代人物，詳見「衛開方」。

在数学中，若一個數b為数a的n次方根，則bⁿ=a。当提及实数a的n次方根的时候，假定想要的是这个数的主n次方根，那么它就可以用根号$({\sqrt {\,\,}})$$({\sqrt {\,\,}})$表示成${\sqrt[{n}]{a}}$$\sqrt[n]{a}$。例如：1024的主10次方根为2，就可以记作${\sqrt[{10}]{1024}}$${\sqrt[ {10}]{1024}}$=2。定义实数a的主n次方根为a的n次方根，且具有与a相同的正负号的唯一实数b。如果n是偶数，那么负数将没有主n次方根。习惯上，将2次方根叫做平方根，将3次方根叫做立方根。

符号史

最早的根号“√”源于字母「L」的变形（出自拉丁语latus的首字母，表示“边长”），没有线括号（即被开方数上的横线），后来数学家笛卡尔给其加上线括号，但与前面的方根符号是分开的，因此在复杂的式子显得很乱。直至18世纪中叶，数学家卢贝将前面的方根符号与线括号一笔写成，并将根指数写在根号的左上角，以表示高次方根（当根指数为2时，省略不写。）。从而，形成了我们现在所熟悉的开方运算符号${\sqrt {\,\,}}$${\sqrt {\,\,}}$。

由于在计算机中的输入问题，我们有时还可以使用sqrt(a,b)来表示a的b次方根。

基本运算

带有根号的运算由如下公式给出:

${\sqrt[{n}]{ab}}={\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}\qquad a\geq 0,b\geq 0$${\sqrt[ {n}]{ab}}={\sqrt[ {n}]{a}}{\sqrt[ {n}]{b}}\qquad a\geq 0,b\geq 0$

${\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}\qquad a\geq 0,b>0$${\sqrt[ {n}]{{\frac {a}{b}}}}={\frac {{\sqrt[ {n}]{a}}}{{\sqrt[ {n}]{b}}}}\qquad a\geq 0,b>0$

${\sqrt[{n}]{a^{m}}}=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{m}=\left(a^{\frac {1}{n}}\right)^{m}=a^{\frac {m}{n}},$${\sqrt[ {n}]{a^{m}}}=\left({\sqrt[ {n}]{a}}\right)^{m}=\left(a^{{{\frac {1}{n}}}}\right)^{m}=a^{{{\frac {m}{n}}}},$

这裡的a和b是正数。

对于所有的非零复数a，有n个不同的复数b使得bⁿ = a，所以符号${\sqrt[{n}]{a}}$$\sqrt[n]{a}$不能无歧义的使用。n次单位根是特别重要的。

当一个数从根号形式被变换到幂形式，幂的规则仍适用（即使对分数幂），也就是

$a^{m}a^{n}=a^{m+n}\,$$a^{m}a^{n}=a^{{m+n}}\,$

$\left({\frac {a}{b}}\right)^{m}={\frac {a^{m}}{b^{m}}}$$\left({\frac{a}{b}}\right)^m = \frac{a^m}{b^m}$

$\left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}\,$$\left(a^m\right)^n = a^{mn} \,$

例如:

${\sqrt[{3}]{a^{5}}}{\sqrt[{5}]{a^{4}}}=a^{\frac {5}{3}}a^{\frac {4}{5}}=a^{{\frac {5}{3}}+{\frac {4}{5}}}=a^{\frac {37}{15}}$$\sqrt[3]{a^5}\sqrt[5]{a^4} = a^{\frac{5}{3}} a^{\frac{4}{5}} = a^{\frac{5}{3} + \frac{4}{5}} = a^{\frac{37}{15}}$

如果你要做加法或减法，则你应当注意下列概念是重要的。

${\sqrt[{3}]{a^{5}}}={\sqrt[{3}]{aaaaa}}={\sqrt[{3}]{a^{3}a^{2}}}=a{\sqrt[{3}]{a^{2}}}$${\sqrt[ {3}]{a^{5}}}={\sqrt[ {3}]{aaaaa}}={\sqrt[ {3}]{a^{3}a^{2}}}=a{\sqrt[ {3}]{a^{2}}}$

如果你理解了如何去简化一个根式表达式，则加法和减法简单的是群的“同类项”问题。

例如

${\sqrt[{3}]{a^{5}}}+{\sqrt[{3}]{a^{8}}}$${\sqrt[ {3}]{a^{5}}}+{\sqrt[ {3}]{a^{8}}}$

$={\sqrt[{3}]{a^{3}a^{2}}}+{\sqrt[{3}]{a^{6}a^{2}}}$$={\sqrt[ {3}]{a^{3}a^{2}}}+{\sqrt[ {3}]{a^{6}a^{2}}}$

$=a{\sqrt[{3}]{a^{2}}}+a^{2}{\sqrt[{3}]{a^{2}}}$$=a{\sqrt[ {3}]{a^{2}}}+a^{2}{\sqrt[ {3}]{a^{2}}}$

$=({a+a^{2}}){\sqrt[{3}]{a^{2}}}$$=({a+a^{2}}){\sqrt[ {3}]{a^{2}}}$

不尽根数

经常简单的留着数的n次方根不解（就是留着根号）。这些未解的表达式叫做“不尽根数”（surd），它们可以接着被处理为更简单的形式或被安排相互除。

如下恒等式是操纵不尽根数的基本技术:

• ${\sqrt {a^{2}b}}=a{\sqrt {b}}$${\sqrt {a^{2}b}}=a{\sqrt {b}}$

• ${\sqrt[{n}]{a^{m}b}}=a^{\frac {m}{n}}{\sqrt[{n}]{b}}$${\sqrt[ {n}]{a^{m}b}}=a^{{{\frac {m}{n}}}}{\sqrt[ {n}]{b}}$

• ${\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}$${\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}$

• $\left({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}\right)^{-1}={\frac {1}{({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})}}={\frac {{\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}}{({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}})}}={\frac {{\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}}{a-b}}$$\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^{-1} = \frac{1}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}- \sqrt{b}} {a - b}$

无穷级数

方根可以表示为无穷级数:

${\begin{aligned}&(1+x)^{\frac {s}{t}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(s+t-kt)}{(s+t)n!t^{n}}}x^{n}\\&(|x|<1)\end{aligned}}$${\begin{aligned}&(1+x)^{{\frac {s}{t}}}=\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {\displaystyle \prod _{{k=0}}^{n}(s+t-kt)}{(s+t)n!t^{n}}}x^{n}\\&(|x|<1)\end{aligned}}$

找到所有的方根

任何数的所有的根，实数或复数的，可以通过简单的算法找到。这个数应当首先被写为如下形式ae^iφ (参见欧拉公式)。接着所有的n次方根给出为:

$e^{({\frac {\varphi +2k\pi }{n}})i}\times {\sqrt[{n}]{a}}$$e^{{({\frac {\varphi +2k\pi }{n}})i}}\times {\sqrt[ {n}]{a}}$

对于$k=0,1,2,\ldots ,n-1$$k=0,1,2,\ldots ,n-1$，这裡的${\sqrt[{n}]{a}}$$\sqrt[n]{a}$表示a的主n次方根。

正实数

所有xⁿ = a或a的n次方根，这裡的a是正实数，的复数解由如下简单等式给出:

$e^{2\pi i{\frac {k}{n}}}\times {\sqrt[{n}]{a}}$$e^{{2\pi i{\frac {k}{n}}}}\times {\sqrt[ {n}]{a}}$

对于$k=0,1,2,\ldots ,n-1$$k=0,1,2,\ldots ,n-1$，这裡的${\sqrt[{n}]{a}}$$\sqrt[n]{a}$表示a的主n次方根。

解多项式

曾经猜想多项式的所有根可以用根号和基本运算来表达；但是阿贝尔-鲁菲尼定理断言了这不是普遍为真的。例如，方程

$\ x^{5}=x+1$$\ x^{5}=x+1$

的解不能用根号表达。

要解任何n次方程，参见根发现算法。

算法

對於正數$A$$A$，可以通過以下算法求得${\sqrt[{n}]{A}}$${\sqrt[ {n}]{A}}$的值：

1. 猜一個${\sqrt[{n}]{A}}$${\sqrt[ {n}]{A}}$的近似值，將其作為初始值$x_{0}$$x_{0}$
2. 設 $x_{k+1}={\frac {1}{n}}\left[{(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right]$$x_{{k+1}}={\frac {1}{n}}\left[{(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{{n-1}}}}}\right]$。記誤差為$\Delta x_{k}={\frac {1}{n}}\left[{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}-x_{k}\right]$$\Delta x_{k}={\frac {1}{n}}\left[{{\frac {A}{x_{k}^{{n-1}}}}}-x_{k}\right]$，即$x_{k+1}=x_{k}+\Delta x_{k}$$x_{{k+1}}=x_{{k}}+\Delta x_{k}$。
3. 重複步驟2，直至絕對誤差足夠小，即：$|\Delta x_{k}|<\epsilon$$|\Delta x_{k}|<\epsilon$。

從牛頓法導出

求${\sqrt[{n}]{A}}$${\sqrt[ {n}]{A}}$之值，亦即求方程$x^{n}-A=0$$x^{n}-A=0$的根。

設$f(x)=x^{n}-A$$f(x)=x^{n}-A$，其導函數即$f'(x)=nx^{n-1}$$f'(x)=nx^{{n-1}}$。

以牛頓法作迭代，便得

$x_{k+1}=x_{k}-{\frac {f(x_{k})}{f'(x_{k})}}$$x_{{k+1}}=x_{k}-{\frac {f(x_{k})}{f'(x_{k})}}$

$=x_{k}-{\frac {x_{k}^{n}-A}{nx_{k}^{n-1}}}$$=x_{k}-{\frac {x_{k}^{n}-A}{nx_{k}^{{n-1}}}}$

$=x_{k}-{\frac {x_{k}}{n}}+{\frac {A}{nx_{k}^{n-1}}}$$=x_{k}-{\frac {x_{k}}{n}}+{\frac {A}{nx_{k}^{{n-1}}}}$

$={\frac {1}{n}}\left[{(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right]$$={\frac {1}{n}}\left[{(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{{n-1}}}}}\right]$

從牛頓二項式定理導出

設$x_{k}$$x_k$為迭代值，$y$$y$為誤差值。

令$A=(x_{k}-y)^{n}$$A=(x_{k}-y)^{n}$（*），作牛頓二項式展開，取首兩項：$A\approx x_{k}^{n}-nx_{k}^{n-1}y$$A\approx x_{k}^{n}-nx_{k}^{{n-1}}y$

調項得$y\approx {\frac {x_{k}^{n}-A}{nx_{k}^{n-1}}}={\frac {1}{n}}\left(x_{k}-{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}\right)$$y\approx {\frac {x_{k}^{n}-A}{nx_{k}^{{n-1}}}}={\frac 1n}\left(x_{k}-{\frac {A}{x_{k}^{{n-1}}}}\right)$

將以上結果代回（*），得遞歸公式$x_{k+1}=x_{k}-y={\frac {1}{n}}\left[{(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right]$$x_{{k+1}}=x_{k}-y={\frac {1}{n}}\left[{(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{{n-1}}}}}\right]$

参见

• 增乘开平方法
• 幂
• 无理数
• 分母有理化
• 双重根号
• 2的12次方根

外部链接

• 高階根號求解。此法亦可求任意正實數指數值
• 立方根與高次方根
• 指數-高中數學教案
• 法国心算天才70.2秒算出200位数13次方根(图)