方根

在数学中，若一個數b為数a的n次方根，則bⁿ=a。当提及实数a的n次方根的时候，假定想要的是这个数的主n次方根，那么它就可以用根号$(\sqrt{\,\,})$表示成$\sqrt[n]{a}$。例如：1024的主10次方根为2，就可以记作$\sqrt[10]{1024}$=2。定义实数a的主n次方根为a的n次方根，且具有与a相同的正负号的唯一实数b。如果n是偶数，那么负数将没有主n次方根。习惯上，将2次方根叫做平方根，将3次方根叫做立方根。

符号史

最早的根号“√”源于字母「L」的变形（出自拉丁语latus的首字母，表示“边长”），没有线括号（即被开方数上的横线），后来数学家笛卡尔给其加上线括号，但与前面的方根符号是分开的，因此在复杂的式子显得很乱。直至18世纪中叶，数学家卢贝将前面的方根符号与线括号一笔写成，并将根指数写在根号的左上角，以表示高次方根（当根指数为2时，省略不写。）。从而，形成了我们现在所熟悉的开方运算符号$\sqrt{\,\,}$。

由于在计算机中的输入问题，我们有时还可以使用sqrt(a,b)来表示a的b次方根。

基本运算

带有根号的运算由如下公式给出:

$\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \qquad a \ge 0, b \ge 0$

$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \qquad a \ge 0, b > 0$

$\sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \left(a^{\frac{1}{n}}\right)^m = a^{\frac{m}{n}},$

这裡的a和b是正数。

对于所有的非零复数a，有n个不同的复数b使得bⁿ = a，所以符号$\sqrt[n]{a}$不能无歧义的使用。n次单位根是特别重要的。

当一个数从根号形式被变换到幂形式，幂的规则仍适用（即使对分数幂），也就是

$a^m a^n = a^{m+n} \,$

$({\frac{a}{b}})^m = \frac{a^m}{b^m}$

$(a^m)^n = a^{mn} \,$

例如:

$\sqrt[3]{a^5}\sqrt[5]{a^4} = a^{5/3} a^{4/5} = a^{5/3 + 4/5} = a^{37/15}$

如果你要做加法或减法，则你应当注意下列概念是重要的。

$\sqrt[3]{a^5} = \sqrt[3]{aaaaa} = \sqrt[3]{a^3a^2} = a\sqrt[3]{a^2}$

如果你理解了如何去简化一个根式表达式，则加法和减法简单的是群的“同类项”问题。

例如

$\sqrt[3]{a^5}+\sqrt[3]{a^8}$

$=\sqrt[3]{a^3a^2}+\sqrt[3]{a^6 a^2}$

$=a\sqrt[3]{a^2}+a^2\sqrt[3]{a^2}$

$=({a+a^2})\sqrt[3]{a^2}$

不尽根数

经常简单的留着数的n次方根不解（就是留着根号）。这些未解的表达式叫做“不尽根数”（surd），它们可以接着被处理为更简单的形式或被安排相互除。

如下恒等式是操纵不尽根数的基本技术:

• $\sqrt{a^2 b} = a \sqrt{b}$

• $\sqrt[n]{a^m b} = a^{\frac{m}{n}}\sqrt[n]{b}$

• $\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}$

• $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{-1} = \frac{1}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}- \sqrt{b}} {a - b}$

无穷级数

方根可以表示为无穷级数:

$\begin{align} &(1+x)^\frac{s}{t} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\displaystyle\prod_{k=0}^n (s+t-kt)}{(s+t)n!t^n}x^n\\ &(|x|<1) \end{align}$

找到所有的方根

任何数的所有的根，实数或复数的，可以通过简单的算法找到。这个数应当首先被写为如下形式ae^iφ (参见欧拉公式)。接着所有的n次方根给出为:

$e^{(\frac{\varphi+2k\pi}{n})i} \times \sqrt[n]{a}$

对于$k=0,1,2,\ldots,n-1$，这裡的$\sqrt[n]{a}$表示a的主n次方根。

正实数

所有xⁿ = a或a的n次方根，这裡的a是正实数，的复数解由如下简单等式给出:

$e^{2\pi i \frac{k}{n}} \times \sqrt[n]{a}$

对于$k=0,1,2,\ldots,n-1$，这裡的$\sqrt[n]{a}$表示a的主n次方根。

解多项式

曾经猜想多项式的所有根可以用根号和基本运算来表达；但是阿贝尔-鲁菲尼定理断言了这不是普遍为真的。例如，方程

$\ x^5=x+1$

的解不能用根号表达。

要解任何n次方程，参见根发现算法。

算法

對於正數$A$，可以通過以下算法求得$\sqrt[n]{A}$的值：

1. 猜一個$\sqrt[n]{A}$的近似值，將其作為初始值$x_0$
2. 設 $x_{k+1} = \frac{1}{n} \left[{(n-1)x_k +\frac{A}{x_k^{n-1}}}\right]$。記誤差為$\Delta x_k = \frac{1}{n} \left[{\frac{A}{x_k^{n-1}}} - x_k\right]$，即$x_{k+1} = x_{k} + \Delta x_k$。
3. 重複步驟2，直至絕對誤差足夠小，即：$| \Delta x_k | < \epsilon$。

從牛頓法導出

求$\sqrt[n]{A}$之值，亦即求方程$x^n-A=0$的根。

設$f(x)=x^n-A$，其導函數即$f'(x)=nx^{n-1}$。

以牛頓法作迭代，便得

$x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}$

$= x_k - \frac{x_k^n - A}{n x_k^{n-1}}$

$= x_k - \frac{x_k}{n}+\frac{A}{n x_k^{n-1}}$

$= \frac{1}{n} \left[{(n-1)x_k +\frac{A}{x_k^{n-1}}}\right]$

從牛頓二項式定理導出

設$x_k$為迭代值，$y$為誤差值。

令$A=(x_k-y)^n$（*），作牛頓二項式展開，取首兩項：$A\approx x_k^n-n x^{n-1}_k y$

調項得$y\approx \frac{x_k^n-A}{n x_k^{n-1}}=\frac1n \left(x_k - \frac{A}{x_k^{n-1}}\right)$

將以上結果代回（*），得遞歸公式$x_{k+1}=x_k-y=\frac{1}{n} \left[{(n-1)x_k +\frac{A}{x_k^{n-1}}}\right]$

参见

• 增乘开平方法
• 幂
• 无理数
• 分母有理化
• 双重根号
• 2的12次方根

外部链接

• 高階根號求解。此法亦可求任意正實數指數值
• 立方根與高次方根
• 指數-高中數學教案
• 法国心算天才70.2秒算出200位数13次方根(图)