方程求解

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數學中的方程求解是指找出哪些值(可能是函數集合)可以使一個方程成立,或是指出這様的解不存在。方程是二個用等號相連的數學表示式,表示式中有一個或多個未知數,未知數為自由變數,解方程就是要找出未知數要在什麼情形下,才能使等式成立。更準確的說,方程求解不一定是要找出未知數的值,也有可能是將未知數以表示式來表示。方程的解是一組可以符合方程的未知數,也就是說若用方程的解來取代未知數,會使方程變為恆等式

例如方程x + y = 2x – 1的解為x = y + 1,因為若將方程中x取代為y + 1,方程會變成恆等式(y + 1) + y = 2(y + 1) – 1。也可以將y視為未知數,解則為y = x – 1。也可以將xy都視為未知數,此時會有許多組的解,像是(x, y) = (1, 0)或是(x, y) = (2, 1)等,所有滿足(x, y) = (a + 1, a)的都是上述方程的解。

依問題的不同,方程求解可能只需要找到一組可以滿足方程的解,也有可能是要找到所有的解(解集合英语Solution set)。有時方程會存在許多解,但要找到某種最佳解,這類的問題稱為最佳化問題,找出最佳化問題的解一般不視為方程求解。

有些情形下,方程求解會需要找到解析解,也就是以解析表達式來表達的解。有些情形下,方程求解只需要找到數值解,也就是數值分析的方法求解近似值。許多方程不存在解析解,或是沒有簡單形式的解析解,例如五次方程以及更高次的代數方程,不存在根式解(用有限次的四則運算及根號組合而成的解析解),這是由數學家尼爾斯·阿貝爾證明的[1]

簡介[编辑]

考慮一個具一般性的例子,有一個以下的方程:

ƒ (x1,...,xn) = c,

其中x1,...,xn為未知數,而c為常數。其解為反像集合的成員

ƒ −1[c] = {(a1,...,an) ∈ T1×···×Tn | ƒ (a1,...,an) = c}

其中T1×···×Tn為函數ƒ定義域。注意解集合可能為空集合(沒有解)、单元素集合(唯一解)、有限個元素的集合及無限多個元素的集合(有無限多的解)。

例如,以下的方程:

3x + 2y = 21z

其未知數為x, yz,可以在等式二側同減21z,得到以下的式子:

3x + 2y − 21z = 0

以此例而言,方程不會只有唯一解,方程解的個數有無限多個,可以寫為以下的集合

{(xyz) | 3x + 2y − 21z = 0}.

其中一個特殊解為x = 0, y = 0, z = 0,而x = 3, y = 6, z = 1和x = 8, y = 9, z = 2也是其解。解集合描述一個三維空間中,恰好穿過上述三個點的平面。

解集合[编辑]

解集合英语solution set為空集合,表示不存在xi使得以下方程成立

ƒ (x1,...,xn) = c,

其中c為一特定常數。

例如考慮一個經典的單變數例子,考慮定義域整數的平方函數ƒ

ƒ (x) = x2,

考慮以下方程

ƒ (x) = 2.

其解集合為{},是空集合。因為2不是任何整數的平方,因此不可能找到整數可以使以上方程成立。但若修改函數的定義域,將其定義域改為所有實數,則上式有二個解,其解集合為

{√2, −√2}.

有些方程的解集合可能形成一個平面或曲面。例如在學習基礎數學時,有提及形式為ax + by = c的方程,其中ab, and c 都是實數的常數,且ab至少有一個不為零,其解集合形成向量空間R2中的一條直線。不過有些解集合不易用圖解表示,例如ax + by + cz + dw = ka, b, c, d, and k為實數的常數)的解集合會形成超平面

相關條目[编辑]

參考資料[编辑]

  1. ^ 阿米爾·艾克塞爾(Amir D. Aezel). 費馬最後定理. 台北: 時報出版. 1998: p.87. ISBN 957-13-2648-8.