施图姆-刘维尔理论

在数学及其应用中，以雅克·夏尔·弗朗索瓦·施图姆（1803–1855）和约瑟夫·刘维尔（1809–1882）的名字命名的施图姆-刘维尔方程是指二阶线性实微分方程：

{\frac {d}{dx}}\!\!\left[\,p(x){\frac {dy}{dx}}\right]+q(x)y=-\lambda \,w(x)y,

(1)

其中给定系数函数 $p (x)$ , $q (x)$ , 和 $w (x)$ 均为已知函数，和 $y$ 是以 $x$ 为自由变量的未知的待求解函数，称为解； $\lambda$ 是一个未定常数。 $w (x)$ 又记为 $r (x)$ ，称为'权（weight）'函数或'密度(density)'函数。所有二阶线性常微分方程都可以简化为这种形式。

在一个正则的施图姆-刘维尔（S-L）本征值问题中，在有界闭区间[a,b]上，三个系数函数 $p(x),w(x),q(x)$ 应满足以下性质：

$p(x)>0,w(x)>0$ ；
$p(x),p'(x),w(x),q(x)$ 均连续；
$y(x)$ 满足边界条件 $\alpha _{1}y(a)+\alpha _{2}y'(a)=0$ 及 $\beta _{1}y(b)+\beta _{2}y'(b)=0$ （ $\alpha _{1}^{2}+\alpha _{2}^{2}>0,\beta _{1}^{2}+\beta _{2}^{2}>0$ ）。

只有一些恰当的 $\lambda$ 能够使得方程拥有满足上述条件的非平凡解（非零解）。这些 $\lambda$ 称为方程的特徵值，对应的非平凡解称为特徵函数，而特徵函数的集合则称为特徵函数族。施、刘二人在一些由边界条件确定的函数空间中，引入埃尔米特算子，形成了施图姆-刘维尔理论。这个理论提出了特徵值的存在性和渐近性，以及特徵函数族的正交完备性。这个理论在应用数学中十分重要，尤其是在使用分离变量法求解偏微分方程的时候。

施图姆-刘维尔理论提出：

施图姆-刘维尔特徵值问题，存在无限多个实数特徵值，而且可以排序为：

\lambda _{1}<\lambda _{2}<\lambda _{3}<\cdots <\lambda _{n}<\cdots ,\lim _{n\rightarrow \infty }\lambda _{n}=\infty

；

对于每一个特徵值 $\lambda _{n}$ 都有唯一的（已被归一化的）特徵函数 $y_{n}(x)$ ，且 $y_{n}(x)$ 在开区间(a,b)上有且仅有n-1个零点。其中 $y_{n}(x)$ 称为满足上述施图姆-刘维尔特徵值问题的第n个基本解；
已归一化的特徵函数族在希尔伯特空间 $L^{2}([a,b],w(x)\mathrm {d} x)$ 上有正交性和完备性，形成一组正交基：