施图姆-刘维尔理论

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在数学及其应用中,以雅克·夏尔·弗朗索瓦·施图姆(1803–1855)和约瑟夫·刘维尔(1809–1882)的名字命名的施图姆-刘维尔方程是指二阶线性实微分方程:

其中函数均为已知函数;为待求解函数,称为解;是一个未定常数。又记为,称为权函数。

在一个正则的施图姆-刘维尔(S-L)本征值问题中,在有界闭区间[a,b]上,三个系数函数应满足以下性质:

  • 均连续;
  • 满足边界条件 )。

只有一些恰当的能够使得方程拥有满足上述条件的非平凡解(非零解)。这些称为方程的本征值,对应的非平凡解称为本征函数,而本征函数的集合则称为本征函数族。施、刘二人在一些由边界条件确定的函数空间中,引入埃尔米特算子,形成了施图姆-刘维尔理论。这个理论提出了本征值的存在性和渐近性,以及本征函数族的正交完备性。这个理论在应用数学中十分重要,尤其是在使用分离变量法求解偏微分方程的时候。

施图姆-刘维尔理论提出:

  • 施图姆-刘维尔本征值问题,存在无限多个实数本征值,而且可以排序为:
  • 对于每一个本征值都有唯一的(已被归一化的)本征函数,且在开区间(a,b)上有且仅有n-1个零点。其中称为满足上述施图姆-刘维尔本征值问题的第n个基本解;
  • 已归一化的本征函数族在希尔伯特空间上有正交性和完备性,形成一组正交基
其中克罗内克函数

一些函数的施图姆-刘维尔形式[编辑]

只要乘以一个恰当的积分因子,所有二阶常微分方程都可以写成施图姆-刘维尔形式。

贝塞尔方程[编辑]

等价于:

勒让德方程[编辑]

注意到 D(1 − x2) = −2x,因此等价于:

使用积分因子的例子[编辑]

两边同时除以x3:
再乘以积分因子:
得到:
又注意到:
因此原方程等价于:

一般形式二阶常微分方程的积分因子[编辑]

两边同时乘以积分因子:
整理后得到:
或者把积分因子写出来: