施瓦茨三角形

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幾何學中,施瓦茨三角形英语Schwarz triangle)是一個球面三角形,可用於球面鑲嵌,透過在其邊緣反射,但是可能會重疊。他們被歸類於施瓦茨1873[1]

施瓦茨三角形除了可以定義在球面之外,也可以定義於歐幾里得平面或雙曲面,而做成便面鑲嵌或雙曲面鑲嵌。在球面上的每個施瓦茨三角形定義了一個有限群,而在歐氏或雙曲平面,則會定義出一個無限群。

施瓦茨三角形是由三個有理數(p q r)來代表每個頂點的角度。值n/d表示的頂角為半圓的d/n,“2”表是一個直角。若p、q、r皆為整數,則將其稱為莫比烏斯三角形英语Möbius triangle)並且對應於一個沒有重疊的鑲嵌,其對稱群稱為一個三角群。在球面移共有3個莫比烏斯三角形加一個單參數族;在歐氏平面上有三個莫比烏斯三角形;而在羅氏雙曲空間中有三個參數族的莫比烏斯三角形,並沒有特例。

空間[编辑]

施瓦茨三角形所屬的空間取決於其p、q、r值:

\frac 1 p + \frac 1 q + \frac 1 r > 1 \text{ : } 球面
\frac 1 p + \frac 1 q + \frac 1 r = 1 \text{ : } 歐氏平面
\frac 1 p + \frac 1 q + \frac 1 r < 1 \text{ : } 羅氏平面(雙曲面)

圖形表示[编辑]

施瓦茨三角形可以用三角圖來表示。每個節點表示施瓦茨三角形的邊(鏡射)。每條邊是由相應的反射階數合理的數值標示,即π/頂點角。

Schwarz triangle on sphere.png
Schwarz triangle (p q r) on sphere
Schwarz triangle graph.png
Schwarz triangle graph

2階邊代表垂直於鏡射,可以在該圖中被忽略。在考克斯特 - 迪肯符號表示三角形圖中會隱藏2階邊。 考克斯特組可用於更簡單的符號,如(p q r)的循環圖,(p q 2) = [p,q](直角三角形),和(p 2 2) = [p]×[].

參考文獻[编辑]

  1. ^ Schwarz, H. A., Ueber diejenigen Fälle in welchen die Gaussichen hypergeometrische Reihe eine algebraische Function ihres vierten Elementes darstellt, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1873, 75: 292–335, ISSN 0075-4102  (Note that Coxeter references this as "Zur Theorie der hypergeometrischen Reihe", which is the short title used in the journal page headers)

外部連結[编辑]