無理數是指除有理数以外的实数,當中的「理」字来自于拉丁语的rationalis,意思是「理解」,实际是拉丁文对于logos「说明」的翻译,是指无法用两个整数的比来说明一个无理数。
非有理數之實數,不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式,小數點之後的數字有無限多個,並且不會循環,即无限不循环小数(任何有限或无限循环小数可被表示称两个整数的比)。常見的無理數有大部分的平方根、π和e(其中後兩者同時為超越數)等。無理數的另一特徵是無限的連分數表達式。
傳說中,无理数最早由畢達哥拉斯學派弟子希伯斯发现。他以幾何方法證明
無法用整数及分數表示。而畢達哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示,不相信無理數的存在。後來希伯斯触犯学派章程,将无理数透露给外人,因而被扔进海中处死,其罪名竟然等同于“渎神”。另見第一次數學危機。
無理數可以通過有理數的分划的概念進行定義。





- 无理数加或减无理数不一定得无理数,例如:
。
- 无理数乘不等于0的有理数必得无理数。
- 无理数的平方根、立方根等次方根必得无理数。
不知是否是無理數的數[编辑]
、
等,事实上,對于任何非零整數
及
,不知道
是否無理數。
無理數與無理數的四則運算的結果往往不知道是否無理數,只有
、
等除外。
我們亦不知道
、
、
、欧拉-马歇罗尼常数
、卡塔兰常数
和费根鲍姆常数是否無理數。
無理數集的特性[编辑]
無理數集是不可數集(因有理數集是可數集而實數集是不可數集)。無理數集是個不完備的拓撲空間,它是與所有正數數列的集拓撲同構的,當中的同構映射是無理數的連分數開展。因而贝尔纲定理可以應用在無數間的拓撲空間上。
無理化作連分數的表達式[编辑]
,
選取一個正的實數
使得
。
經由遞迴處理

一些無理數的證明[编辑]
證明
是无理数[编辑]
证:
假设
是有理数,并且令
,
是最简分数。
两边平方,得到
。将此式改写为
,可见
为偶数。
因为平方运算保持奇偶性,所以
只能为偶数。设
,其中
为整数。
代入可得
。同理可得
亦为偶数。
这与
为最简分数的假设矛盾,
所以
是有理数的假设不成立。
證明
是无理数[编辑]
證:
假設
是有理數,兩邊平方得到
其中因為
是有理數,所以
也是有理數。
透過證明
為無理數的方法,其中
為一非完全平方数
可以證明
是無理數
同樣也推出
是無理數
但這又和
是有理數互相矛盾
所以
是一無理數
證明
是无理数[编辑]
證:
同樣,假設
是有理數,兩邊平方後得到
,
於是
是有理數。兩邊再次平方,得:
,
於是
由於
是有理數,所以
透過證明形如
的數是無理數的方法,得出
也是一無理數
但這結果明顯和
與
皆為有理數出現矛盾,故
為無理數
另一種證明:
同樣假設
是有理數,
,兩邊平方:
透過證明形如
的數是無理數的方法,得出
是一無理數
也是矛盾的。
證明
是无理数[编辑]
證:
,兩邊平方得到:
,得到
為一有理數
,兩邊繼續平方:
由於
,
皆為有理數
設
,
亦為有理數
透過證明形如
的數是無理數的方法,可知
為無理數
這和
是有理數衝突
所以得證
為一無理數
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