曲率形式

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微分几何中,曲率形式curvature form)描述了主丛上的联络曲率。它可以看作是黎曼几何中的曲率张量的替代或是推广。

定义[编辑]

G 为一个李群,记 G李代数。设 为一个G-丛。令 表示 E 上一个埃雷斯曼联络(它是一个E上的 g-值 1-形式)。

那么曲率形式就是 E 上的 g-值 2-形式,定义为

这里 表示标准外导数李括号,而 D 表示外共变导数。或者说

向量丛上的曲率形式[编辑]

是一个纤维丛,其结构群G,我们可以在相伴的主 G-丛上重复同样的定义。

是一个向量丛则我们可以把 看作是 1-形式的矩阵,则上面的公式取如下形式:

其中 楔积。更准确地讲,若 分别代表 的分量(所以每个 是一个通常的 1-形式而每个 是一个普通的2-形式),则

例如,黎曼流形切丛,我们有 作为结构群而 是在 中取值的 2-形式(给定标准正交基,可以视为反对称矩阵)。在这种情况,曲率张量的一种替换表述,也就是在曲率张量的标准表示中,我们有

上式使用了黎曼曲率张量标准记号。

比安基恒等式[编辑]

如果 是标架丛上的典范向量值 1-形式,联络形式 ω 的挠率 是由结构方程定义的向量值 2-形式:

这里 D 代表外共变导数

第一比安基恒等式(对于标架丛的有挠率联络)取以下形式

第二比安基恒等式对于一般有联络的丛成立,并有如下形式

参看[编辑]

参考[编辑]

  • S.Kobayashi and K.Nomizu, "Foundations of Differential Geometry", Chapters 2 and 3, Vol.I, Wiley-Interscience.