曲面积分

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数学上,曲面积分(面积分)是在曲面上的定积分(曲面可以是空间中的弯曲子集);它可以视为和线积分相似的双重积分。给定一个曲面,可以在上面对标量场(也就是實数值的函数)进行积分,也可以对向量场(也就是向量值的函数)积分。

面积分在物理中有大量应用,特别是在电磁学經典物理學中。

面积分的定义依赖于将曲面细分成小的面积元。
单个面积元的图示。这些面积元通过极限过程成为无穷小的元素以逼近曲面。

标量场的面积分[编辑]

考虑定义在曲面S上的實函數 f,计算面积分的一个办法是将曲面分割成很多小片,假设函數 f 在每小片的變化不大,且每個小片的近似計算的面積跟實際面積誤差不大,任意取每片中函數 f 的值,然后乘以小片的近似面积,最后全部加起来得到一個值,當這種分割越來越細時,如果這值趨近一個實數,我們稱這實數為實數值函數 f 在曲面 S 上的面積分。

要找到面积分的直接公式,首先需要参数化曲面S,也即在S上建立坐标系,就像球面上的经纬度。令参数化为x(s, t),其中(s, t)在某个平面上的区域T中变化。则 f 在曲面 S 的面积分为


\iint_S f \,dS 
= \iint_T f(\mathbf{x}(s, t)) \left|\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial s}\times \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial t}\right| ds\, dt

其中 \textstyle \left|\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial s}\times \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial t}\right|x(s, t)的偏导数外積這向量的長度,而 \textstyle \left|\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial s}\times \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial t}\right|dudv 在微分幾何裡又叫作流形 S 的體積元素(Volume element)。

例如,如果要找出某个函数(z=f\,(x,y))形状的曲面面积,就有


A = \iint_S \,dS 
= \iint_T \left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y}\right| dx\, dy

其中\mathbf{r}=(x, y, z)=(x, y, f(x,y))。所以,\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x}=(1, 0, f_x(x,y)),且\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y}=(0, 1, f_y(x,y))。因此

\begin{align}
A
&{} = \iint_T \left\|\left(1, 0, {\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0, 1, {\partial f \over \partial y}\right)\right\| dx\, dy \\
&{} = \iint_T \left\|\left(-{\partial f \over \partial x}, -{\partial f \over \partial y}, 1\right)\right\| dx\, dy \\
&{} = \iint_T \sqrt{\left({\partial f \over \partial x}\right)^2+\left({\partial f \over \partial y}\right)^2+1}\, \,  dx\, dy
\end{align}

这就是一般以 (x,y,f(x,y)) 為參數的曲面其面积的標準公式。很容易认出第二行中的向量是曲面的法向量

注意,因为外积的存在,這裡的公式只在曲面嵌入在三维空间中时适用。

向量场的面积分[编辑]

曲面上的向量场。

考虑S上的向量场v,对于每个S上的点xv(x)是一个向量。想象一个穿过S的液体流,使得v(x)决定液体在x的速度。则流量定义为单位时间穿过S的液体量。

这个解释意味着如果向量场和S在每点相切,则流量为0,因为液体平行S流动,从而不进不出。这也意味着如果v不仅仅沿着S流动,也即,如果v既有切向分量也有法向分量,则只有法向分量对流量作出贡献。基于这个推理,要找出流量,我们必须取vS上每点的单位法向量点积,这就给出了一个标量场,然后就可以用上述方式积分。公式如下

\int_S {\mathbf v}\cdot \,d{\mathbf {S}} = \int_S ({\mathbf v}\cdot {\mathbf n})\,dS=\iint_T {\mathbf v}(\mathbf{x}(s, t))\cdot \left({\partial \mathbf{x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial t}\right) ds\, dt.

右手边的叉积是由参数化所决定的法向量。

该公式定义为向量场vS上的面积分。

微分2-形式的面积分[编辑]

 \omega= f_{x} dy  \wedge dz + f_{y} dz  \wedge dx+f_{z} dx \wedge dy

为定义在曲面S上的2阶微分形式,并令

\mathbf{x} (s,t)=( x(s,t), y(s,t), z(s,t))\!

为一保定向的在曲面 S 上的参数化,其中(s,t) \in D\subseteq \mathbb{R}^2。利用變數變換,则 \omegaS上的面积分變成

\iint_D \left[ f_{x} ( \mathbf{x} (s,t))\frac{\partial(y,z)}{\partial(s,t)} + f_{y} ( \mathbf{x} (s,t))\frac{\partial(z,x)}{\partial(s,t)}+ f_{z}(\mathbf{x} (s,t))\frac{\partial(x,y)}{\partial(s,t)} \right]\, ds dt

其中

{\partial \mathbf{x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial t}=\left(\frac{\partial(y,z)}{\partial(s,t)}, \frac{\partial(z,x)}{\partial(s,t)}, \frac{\partial(x,y)}{\partial(s,t))}\right)

S的法向量。利用微分形式(2-form)的變數變換,我們有

\int_S \omega=\iint_S (f_x, f_y, f_z)\cdot d\mathbf{S}=\iint_S (f_x, f_y, f_z)\cdot \mathbf{n}\, dS


也就是說,對 \omega 該2-形式的积分和以f_xf_yf_z.为分量的向量场的面积分相同。

涉及面积分的定理[编辑]

面积分中很多有用的结果可以用微分几何向量微积分导出,例如散度定理及其推广斯托克斯定理

进阶问题[编辑]

注意面积分的定义中用到曲面S的参数化。而给定曲面可以有多种参数化。例如,如果移动球面上南极和北极的位置,所有球面上的点的经度和纬度都会改变。很自然就有面积分是否依赖于给定参数化的问题。对于标量场的积分,答案很简单:无论参数化为何,面积分不变。

对于向量场,情况复杂一些,因为積分時涉及到曲面的法向量。如果两个参数化下法向量的定向相同,则积分值不变。如果法向量定向相反,则积分值相反。因此,不需要規定特定的参数化,但是对于法向量,不同的参数化的定向必须保持一致。

另外一个问题是,有时曲面没有覆盖整个曲面的单一参数化;譬如对于有限长的圆柱面就是这样。一个直接的解决办法就是将曲面切成几片,在每一片上求面积分,然后加起来。这就是正确的办法,但是对向量场积分的时候,必须小心,要让每个小片的法向量定向和周围的一致。对于柱面来讲,也就是让所有片的法向量向外指。

最后一个问题是,有些曲面没有一个一致的法向量(譬如莫比乌斯带)。对于这样的曲面,无法找到一致的定向。这样的曲面称为不可定向的,在其上无法进行向量场的积分。

参看[编辑]

参考[编辑]

  • Leathem, J. G. Volume and Surface Integrals Used in Physics. Cambridge, England: University Press, 1905

外部链接[编辑]