曳物线

曳物线 是指被曳拉物体受垂直于初始静止状态时绳线方向的牵引力作用下的运动轨迹。其参数方程形式为

$x=l\operatorname {sech} t$

$y=l(t-\tanh t)$

其中$l$为绳长。

它对应的微分方程为： $x^{2}+x^{2}y'^{2}=l^{2}$

性质

曳物线的法线形成的包络线

• 在曳物线的切线上，从切点到切线与渐近线的交点的长度是常数。
• 在一支上两点x = x₁ 与 x = x₂间的弧长为$l\ln \left({\frac {x_{1}}{x_{2}}}\right)$。
• 曳物线与其渐近线所围的面积为$\pi l^{2}/2$（可用积分法或Mamikon定理求出）。
• 曳物线的所有法线所组成的包络线（称为渐屈线）是悬链线，其方程为$x=l\cosh {\frac {y}{l}}$。（见右图）
• 曳物线绕着它的渐近线旋转，则形成的旋转曲面是伪球面（它提供了罗巴切夫斯基几何的一个模型）。