最大似然估计

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统计学中,最大似然估计,也称为最大概似估计,是用来估计一个概率模型的参数的一种方法。

预备知识[编辑]

下边的讨论要求读者熟悉概率论中的基本定义,如概率分布概率密度函数随机变量数学期望等。同时,还要求读者熟悉连续实函数的基本技巧,比如使用微分来求一个函数的极值(即极大值极小值)。

最大似然估计的原理[编辑]

给定一个概率分布,假定其概率密度函数(连续分布)或概率质量函数(离散分布)为,以及一个分布参数,我们可以从这个分布中抽出一个具有个值的采样,通过利用,我们就能计算出其概率:

但是,我们可能不知道的值,尽管我们知道这些采样数据来自于分布。那么我们如何才能估计出呢?一个自然的想法是从这个分布中抽出一个具有个值的采样,然后用这些采样数据来估计.

一旦我们获得,我们就能从中找到一个关于的估计。最大似然估计会寻找关于的最可能的值(即,在所有可能的取值中,寻找一个值使这个采样的“可能性”最大化)。这种方法正好同一些其他的估计方法不同,如非偏估计,非偏估计未必会输出一个最可能的值,而是会输出一个既不高估也不低估的值。

要在数学上实现最大似然估计法,我们首先要定义似然函数:

并且在的所有取值上,使这个函数最大化(一階導數)。这个使可能性最大的值即被称为最大似然估计

注意[编辑]

  • 这裡的似然函数是指不变时,关于的一个函数。
  • 最大似然估计函数不一定是惟一的,甚至不一定存在。

例子[编辑]

离散分布,离散有限参数空间[编辑]

考虑一个抛硬币的例子。假设这个硬币正面跟反面轻重不同。我们把这个硬币抛80次(即,我们获取一个采样并把正面的次数记下来,正面记为H,反面记为T)。并把抛出一个正面的概率记为,抛出一个反面的概率记为(因此,这裡的即相当于上边的)。假设我们抛出了49个正面,31个反面,即49次H,31次T。假设这个硬币是我们从一个装了三个硬币的盒子里头取出的。这三个硬币抛出正面的概率分别为, , .这些硬币没有标记,所以我们无法知道哪个是哪个。使用最大似然估计,通过这些试验数据(即采样数据),我们可以计算出哪个硬币的可能性最大。这个似然函数取以下三个值中的一个:

我们可以看到当时,似然函数取得最大值。这就是的最大似然估计。

离散分布,连续参数空间[编辑]

现在假设例子1中的盒子中有无数个硬币,对于中的任何一个, 都有一个抛出正面概率为的硬币对应,我们来求其似然函数的最大值:

其中. 我们可以使用微分法来求最值。方程两边同时对微分,并使其为零。

在不同比例参数值下一个二项式过程的可能性曲线t = 3, n = 10;其最大似然估计值发生在其众数并在曲线的最大值处。

其解为, ,以及.使可能性最大的解显然是(因为这两个解会使可能性为零)。因此我们说最大似然估计值.

这个结果很容易一般化。只需要用一个字母代替49用以表达伯努利试验中的被观察数据(即样本)的“成功”次数,用另一个字母代表伯努利试验的次数即可。使用完全同样的方法即可以得到最大似然估计值:

对于任何成功次数为,试验总数为的伯努利试验。

连续分布,连续参数空间[编辑]

最常见的连续概率分布正态分布,其概率密度函数如下:

现在有个正态随机变量的采样点,要求的是一个这样的正态分布,这些采样点分布到这个正态分布可能性最大(也就是概率密度积最大,每个点更靠近中心点),其个正态随机变量的采样的对应密度函数(假设其独立并服从同一分布)为:

或:

,

这个分布有两个参数:.有人可能会担心两个参数与上边的讨论的例子不同,上边的例子都只是在一个参数上对可能性进行最大化。实际上,在两个参数上的求最大值的方法也差不多:只需要分别把可能性在两个参数上最大化即可。当然这比一个参数麻烦一些,但是一点也不复杂。使用上边例子同样的符号,我们有.

最大化一个似然函数同最大化它的自然对数是等价的。因为自然对数log是一个连续且在似然函数的值域严格递增的上凸函数。[注意:可能性函数(似然函数)的自然对数跟信息熵以及Fisher信息联系紧密。]求对数通常能够一定程度上简化运算,比如在这个例子中可以看到:

这个方程的解是.这的确是这个函数的最大值,因为它是里头惟一的一阶导数等于零的点并且二阶导数严格小于零。

同理,我们对求导,并使其为零。

这个方程的解是.

因此,其关于最大似然估计为:

.

性质[编辑]

泛函不变性(Functional invariance)[编辑]

如果的一个最大似然估计,那么的最大似然估计是.函数g无需是一个一一映射。请参见George Casella与Roger L. Berger所著的Statistical Inference定理Theorem 7.2.10的证明。(中国大陆出版的大部分教材上也可以找到这个证明。)

渐近线行为[编辑]

最大似然估计函数在采样样本总数趋于无穷的时候达到最小方差(其证明可见于Cramer-Rao lower bound)。当最大似然估计非偏时,等价的,在极限的情况下我们可以称其有最小的均方差。 对于独立的观察来说,最大似然估计函数经常趋于正态分布

偏差[编辑]

最大似然估计的偏差是非常重要的。考虑这样一个例子,标有1nn张票放在一个盒子中。从盒子中随机抽取票。如果n是未知的话,那么n的最大似然估计值就是抽出的票上标有的n,尽管其期望值的只有.为了估计出最高的n值,我们能确定的只能是n值不小于抽出来的票上的值。

历史[编辑]

最大似然估计最早是由羅納德·費雪在1912年至1922年间推荐、分析并大范围推广的。[1](虽然以前高斯拉普拉斯T. N. ThieleF. Y. 埃奇沃思英语Francis Ysidro Edgeworth也使用过)。[2] 许多作者都提供了最大似然估计发展的回顾。[3]

大部分的最大似然估计理论都在贝叶斯统计中第一次得到发展,并被后来的作者简化。[1]

参见[编辑]

  • 关于Rao-Blackwell定理(Rao-Blackwell theorem)的文章里头讨论到如何利用Rao-Blackwellisation过程寻找最佳非偏估计(即使均方差最小)的方法。而最大似然估计通常是一个好的起点。
  • 读者可能会对最大似然估计(如果存在)总是一个关于参数的充分统计(sufficient statistic)的函数感兴趣。

参考文献[编辑]

外部资源[编辑]