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最大公因數

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数学中,兩個或多個整數最大公因數英语:greatest common factorhcf)指能够整除这些整数的最大正整数(这些整数不能都为零)。例如8和12的最大公因数为4。最大公因数也称最大公约数英语:greatest common divisorgcd)。

整数序列的最大公因数可以記為

求兩個整數最大公因數主要的方法:

  • 窮舉法:分別列出兩整數的所有因數,並找出最大的公因數。
  • 質因數分解:分別列出兩數的質因數分解式,並計算共同項的乘積
  • 短除法:兩數除以其共同質因數,直到兩數互質時,所有除數的乘積即為最大公因數。
  • 輾轉相除法:兩數相除,取餘數重複進行相除,直到餘數為時,前一個除數即為最大公因數。

兩個整數的最大公因數和最小公倍數lcm)的關係為:

兩個整數的最大公因數可用於計算兩數的最小公倍數,或分數化簡成最簡分數

兩個整數的最大公因數和最小公倍數中存在分配律

直角坐標中,兩頂點為的線段會通過格子點

概述[编辑]

例子[编辑]

54和24的最大公因数是多少?

数字54可以表示為几组不同正整數的乘積:

故54的正因數為

同樣地,24可以表示為:

故24的正因數為

这两组数列中的共同元素即为54和24的公因数

其中的最大數6即為54和24的最大公因數,記為:

互质数[编辑]

如果两数的最大公因数为1,那么这两个数互質。例如,9和28就是互质数。

几何角度的说明[编辑]

"瘦长的矩形区域,划分成了正方形的网格,宽两格、高五格。"
24乘60的矩形被十个12乘12的正方形格子完全覆盖,即12为24和60的最大公因数。推而广之,如果cab的最大公因数,那么ab的矩形就可以被若干个边长为c的正方形格子完全覆盖。

假设有一个大小为24乘60的矩形区域,这个区域可以按照不同的大小划分正方形网格:1乘1、2乘2、3乘3、4乘4、6乘6、12乘12。因此,12是24和60的最大公因数。大小为24乘60的矩形区域,可以按照12乘12的大小划分正方形网格,一边有两格(24/12 = 2)、另一边有五格(60/12 = 5)。

计算[编辑]

质因数分解法[编辑]

可以通过質因數分解来计算最大公因数。例如计算,可以先进行质因数分解 ,因为其中表达式的「重合」,所以。实践中,这种方法只在数字比较小时才可行,因为对较大数进行质因数分解通常会耗费大量的时间。

再举一个用文氏图表示的例子,计算48和180的最大公因数。首先对这两个数进行质因数分解:

48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3
180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5

它们之中的共同元素是两个2和一个3:

Least common multiple.svg[1]
最小公倍数 = 2 × 2 × ( 2 × 2 × 3 ) × 3 × 5 = 720
最大公因数 = 2 × 2 × 3 = 12

辗转相除法[编辑]

相比质因数分解法,辗转相除法的效率更高。

计算时,先将48除以18得到2、余数12,然后再将18除以12得到商1、余数6,再将12除以6得到商2、余数0,即得到最大公因数6。我们只关心每次除法的余数是否为0,为0即表示得到答案。这一算法更正式的描述是这样的:

其中

如果参数都大于0,那么该算法可以写成更简单的形式:

,
如果 a > b
如果 b > a
使用辗转相除法计算62和36的最大公因数2的演示动画。

性质[编辑]

  • 任意ab的公因数都是因數
  • 函数满足交换律
  • 函数满足结合律

程式代碼[编辑]

數字之間的最大公因數之所有因數是該組數字所有的公因數。

以下使用輾轉相除法實現。

C#[编辑]

1 private int GCD(int a, int b) {
2 	if(0 != b) while(0 != (a %= b) && 0 != (b %= a));
3 	return a + b;
4 }

C++[编辑]

运行时计算实现:

template < typename T >
T GCD(T a, T b) {
	if(b) while((a %= b) && (b %= a));
	return a + b;
}

编译时计算实现:

#include <iostream>
#include <type_traits>

template<typename T, std::enable_if_t<std::is_integral<T>::value, T> a, std::enable_if_t<std::is_integral<T>::value, T> b>
struct HCF{
public:
    static const T value=HCF<T, (a>b? b: a), (a>b? a%b: b%a)>::value;
};
template<typename T, std::enable_if_t<std::is_integral<T>::value, T> a>
struct HCF<T, a, 0>{
public:
    static const T value=a;
};
int main(){
    std::wcout<<HCF<int, 12, 64>::value<<std::endl;//Output: 4
}

C[编辑]

int GCD(int a, int b)
{
	if (b)
            while((a %= b) && (b %= a))
                ;
	return a + b;
}

Java[编辑]

private int GCD(int a, int b) {
        if(b==0) return a; 
	return a % b == 0 ? b : GCD(b, a % b);
}

Python[编辑]

GCD = lambda a, b: (GCD(b, a % b) if a % b else b)

参考文献[编辑]

外部链接[编辑]

参见[编辑]