有理映射

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代數幾何中,有理映射是定義在概形的稠密開集上的態射。有理映射及由此引生的雙有理等價是古典代數幾何學的主要對象。

定義[编辑]

固定概形 。考慮所有的資料 ,其中 是稠密開集,而 是態射;這些資料代表了 上「部份定義」的態射, 代表 的定義域。定義下述等價關係:

此外,注意到稠密性保證 也是 中的稠密開集。當 不可約,則所有非空開集都是稠密的。若再假設 既約而 分離概形,則任一等價類有唯一一個定義域最大的代表元。

從概形 有理映射 是其中的一個等價類

是從 是從 的有理映射,則一般並不能定義其合成 。但是當 的像(對某個,因而對每個代表元 )在 中稠密時,對每個 的代表元 皆非空,此時可以定義

同理,若 都是 上的概形,也可以類似地定義 -有理映射。

例子[编辑]

整環,設 ,則從 的任何有理映射 有唯一的表法:

其中 是多項式。該有理映射可以在 上定義。

此外,對於不可約 -概形 ,其上的有理函數一一對應到從 的有理映射。

優勢映射與雙有理等價[编辑]

之前考慮合成問題時,曾利用像的稠密性條件;滿足該條件的有理映射稱為優勢映射。由於優勢映射可以作合成,定義從概形 雙有理等價為一個優勢映射 ,使得存在另一個從 的優勢映射 ,使

以下考慮 上的不可約代數簇及其間的 -有理映射。有理映射的地位在於:透過有理函數的「拉回」運算,代數簇之間的優勢映射對應到函數域之間的映射,而雙有理等價對應到函數域的同構。由此可知代數簇的雙有理等價範疇等價於函數域的反範疇。

雙有理等價的例子[编辑]

雙有理等價的定義較同構寬,因為我們容許態射在某維度較低的閉集上未定義。一個例子是 ,兩者雙有理等價,而並不同構。原因如下: 中的任兩條閉曲線都有交點,而在 中, 不相交,因而 並不同構。

另一方面,函數域可以在仿射開集 上計算,此開集的座標環是 ,其函數域是 ;這也是 的函數域,於是二者雙有理等價。若細審上述論證,事實上能寫出所求雙有理等價的式子。

參見[编辑]

文獻[编辑]

  • Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique 2nd edition. Berlin; New York: Springer-Verlag. 1971. ISBN 978-3-540-05113-8 (French). 
  • Hartshorne, Robin. Algebraic Geoemtry. Berlin; New York: Springer-Verlag. 1977. ISBN 978-0-387-90244-9 (English).