有界函数

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有界函数(红)和无界函数(蓝)。

定义在集合X上的函数称为有界的,如果它所有的值所组成的集合是有界的。也就是说,存在一个数M>0,使得对于X中的所有x,都有

|f(x)|\le M

有时,如果对于X中的所有x,都有f(x)\le A,则函数称为上有界的A就是它的上界。另一方面,如果对于X中的所有x,都有f(x)\ge B,则函数称为下有界的B就是它的下界。

一个特例是有界数列,其中X是所有自然数所组成的集合N。所以,一个数列f = ( a0, a1, a2, ... ) 是有界的,如果存在一个数M > 0,使得对于所有的自然数n,都有

|an| ≤ M

例子[编辑]

  • f (x)=sin x所定义的函数f:RR是有界的。如果正弦函数是定义在所有复数的集合上,则不再是有界的。
  • 函数
f(x)=\frac{1}{x^2-1}

x不等于−1或1)是无界的。当x越来越接近−1或1时,函数的值就变得越来越大。但是,如果把函数的定义域限制为[2, ∞).,则函数就是有界的。

  • 函数
f(x)=\frac{1}{x^2+1}

是有界的。

  • 任何一个连续函数f:[0,1] → R都是有界的。
  • 考虑这样一个函数:当x有理数时,函数的值是0,而当x无理数时,函数的值是1。这个函数是有界的。有界函数并不一定是连续的。