有界函数

有界函数（红色）和无界函数（蓝色）的示意图。可以看到，有界函数的图形保持在（虚线）水平带内，而无界函数的图形不保持在水平带内。

在数学中，如果在某个集合$X$上定义的具有实数或复数值的某个函数$f$的值域是有界集合，则函数$f$被称为有界的（或有界函数）。换句话说，存在实数$M>0$，使得对于集合$X$中的所有$x$，都有$|f(x)|\leq M$。有时，如果对于集合$X$中的所有$x$，都有$f(x)\leq A$，则函数$f$称为上有界的，$A$就是它的一个上界；如果对于集合$X$中的所有$x$，都有$f(x)\geq B$，则函数称为下有界的，$B$就是它的一个下界。

一个特例是有界数列，其中$X$是所有自然数所组成的集合$\mathbb {N}$。所以，一个数列$f=(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )$ 是有界的，如果存在一个数$M>0$，使得对于所有的自然数$n$，都有$\left\vert a_{n}\right\vert \leq M$。

例子

• 由$f(x)=\sin x$所定义的函数$f:R\rightarrow R$是有界的。如果正弦函数是定义在所有复数的集合上，则不再是有界的。
• 函数$f(x)={\frac {1}{x^{2}-1}}$（$x$不等于−1或1）是无界的。当$x$越来越接近−1或1时，函数的值就变得越来越大。但是，如果把函数的定义域限制为$[2,\infty )$，则函数就是有界的。

• 函数$f(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}$是有界的。

• 任何一个连续函数$f:[0,1]\rightarrow R$都是有界的。
• 考虑这样一个函数：当$x$是有理数时，函数的值是0，而当$x$是无理数时，函数的值是1。这个函数是有界的。有界函数并不一定是连续的。

参见

• 有界集合
• 支撑集
• 一致有界