有界函数(红色)和无界函数(蓝色)的示意图。可以看到,有界函数的图形保持在(虚线)水平带内,而无界函数的图形不保持在水平带内。
在数学中,如果在某个集合
上定义的具有实数或复数值的某个函数
的值域是有界集合,则函数
被称为有界的(或有界函数)。换句话说,存在实数
,使得对于集合
中的所有
,都有
。有时,如果对于集合
中的所有
,都有
,则函数
称为上有界的,
就是它的一个上界;如果对于集合
中的所有
,都有
,则函数称为下有界的,
就是它的一个下界。
一个特例是有界数列,其中
是所有自然数所组成的集合
。所以,一个数列
是有界的,如果存在一个数
,使得对于所有的自然数
,都有
。
- 由
所定义的函数
是有界的。如果正弦函数是定义在所有复数的集合上,则不再是有界的。
- 函数
(
不等于−1或1)是无界的。当
越来越接近−1或1时,函数的值就变得越来越大。但是,如果把函数的定义域限制为
,则函数就是有界的。
- 函数
是有界的。
- 任何一个连续函数
都是有界的。
- 考虑这样一个函数:当
是有理数时,函数的值是0,而当
是无理数时,函数的值是1。这个函数是有界的。有界函数并不一定是连续的。