有界变差

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有界變差是函數的一個性質,它指的是總變差為有限的函數

有界變差的理論對黎曼-斯蒂尔杰斯积分有相當的用處。

定義[编辑]

,若一個定義於實數區間上函數有界變差函數,則對於任意在上的劃分而言,存在一正實數而言,有

其定義可推廣至複數乃至於任何的歐幾里德空間上。

性質[编辑]

  • 任意單調函數都是有界變差的。
  • 在區間上滿足Lipschitz條件,即存在常數,使得對於任意,有,則上是有界變差的。
  • 在區間上連續,且在區間的內部可微,若對於任意在定義域的內部的點而言,存在一正實數使得,則上是有界變差的。
  • 在區間上是有界變差的,則在該區間上亦是有界的。
  • 在區間上是有界變差的,則其不連續點的數量是可數的。

參見[编辑]

參照[编辑]