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有限域

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数学中,有限域英语:finite field)或伽罗瓦域英语:Galois field,为纪念埃瓦里斯特·伽罗瓦命名)是包含有限个元素。与其他域一样,有限域是进行加减乘除运算都有定义并且满足特定规则的集合。有限域最常见的例子是当 p 为素数时,整数对 p 取模。

有限域的元素个数称为它的

有限域在许多数学和计算机科学领域的基础,包括数论代数几何伽羅瓦理論有限幾何學密码学编码理论

定理[编辑]

  • 有限域的阶(有限域中元素的个数)是一个素数的方幂。
  • 对于每个素数p和每个正整数n在同构的意义下存在惟一的阶的有限域,并且所有元素都是方程 的根,该域的特征p
  • 有限域的乘法群是循环群。即若F是有限群,则存在使得
  • 有限域是完美域,即它的任何代数扩张一定是可分扩张
  • 有限域的有限扩张一定是伽罗瓦扩张,并且对应的伽罗瓦群循环群

一些小型的有限域[编辑]

F2:

 + | 0 1        ·| 0 1
 --+----        --+----
 0 | 0 1        0 | 0 0
 1 | 1 0        1 | 0 1

F3:

 + | 0 1 2       ·| 0 1 2
 --+------       --+------
 0 | 0 1 2       0 | 0 0 0
 1 | 1 2 0       1 | 0 1 2
 2 | 2 0 1       2 | 0 2 1

F4:

 + | 0 1 A B       ·| 0 1 A B
 --+--------       --+--------
 0 | 0 1 A B       0 | 0 0 0 0
 1 | 1 0 B A       1 | 0 1 A B
 A | A B 0 1       A | 0 A B 1
 B | B A 1 0       B | 0 B 1 A

参考文献[编辑]

  • 《近世代数》

参见[编辑]