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有限域

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数学中,有限域(英語:finite field)或伽罗瓦域(英語:Galois field,为纪念埃瓦里斯特·伽罗瓦命名)是包含有限个元素。与其他域一样,有限域是进行加减乘除运算都有定义并且满足特定规则的集合。有限域最常见的例子是当 p 为素数时,整数对 p 取模

有限域的元素个数称为它的

有限域在许多数学和计算机科学领域的基础,包括数论代数几何伽羅瓦理論有限幾何學密码学编码理论

定理[编辑]

  • 有限域的阶(有限域中元素的个数)是一个素数
  • 对于每个素数p和每个正整数n在同构的意义下存在惟一的阶的有限域,并且所有元素都是方程 的根,该域的特征p
  • 有限域的乘法群是循环群。即若F是有限體,则存在使得
  • 有限域是完美域,即它的任何代数扩张一定是可分扩张
  • 有限域的有限扩张一定是伽罗瓦扩张,并且对应的伽罗瓦群循环群

存在性與唯一性[编辑]

q = pn 為質數冪, F 為多項式

於質數域 GF(p) 上的分裂域。換言之, F 是最低階的有限域,使得 PF 內有 q 個互異的根(注意 P形式導數英语formal derivative ,因此 P 無重根)。

利用二項式定理,可證恆等式

在特徵為 p 的域上成立。此恆等式說明 P 任兩根之和或積仍為 P 的根。同時, P 的根的乘法逆元仍是根,因此 P 的根構成一個 q 階的域。由 F 的最小性,可知此域即為 F

由於分裂域在同構意義下唯一, q 階域也在同構意義下唯一(已證其為 的分裂域)。而且,若域 F 有一個階為 的子域,則其元素恰為 q 個根,所以 F 不能包含另一個階為 q 的子域。

E·H·摩爾於 1893 年證明了以下的分類定理,可作為本節的總結:[1]

有限域的階為質數冪。對任意一個質數冪 q, 都存在 q 階的域,並且任意兩個 q 階的域都同構。該些域中,任意的元素 x 都滿足
且多項式 XqX 可分解成

由此可知,GF(pn) 有同構於 GF(pm) 的子域當且僅當 m 整除 n;該情況下,僅有唯一的子域與 GF(pm) 同構。多項式 XpmX 整除 XpnX 也是當且僅當 m 整除 n.

弗羅貝尼烏斯自同構和伽羅瓦理論[编辑]

p 為質數, q = pn 為質數冪。

GF(q) 中,恆等式 (x + y)p = xp + yp 說明映射

GF(q)GF(p)-線性域自同構,其保持子域 GF(p) 的元素。該映射稱為弗罗贝尼乌斯自同構,得名於费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯

φkφk 次疊代,則

此前已證明 φn 為恆同映射。若 0 < k < n, 則自同構 φk 並非恆同映射,否則多項式

就有多於 pk 個根,矛盾。

此外 GF(q) 並無其他 GF(p)-自同構。換言之,GF(pn) 恰有 nGF(p)-自同構,其為

伽羅瓦理論觀之, GF(pn)GF(p)伽羅瓦擴展,且其伽羅瓦群為循環群

弗羅貝尼烏斯映射為滿射,因此任意一個有限域都是完美域英语perfect field

一些小型的有限域[编辑]

F2:

+ 0 1
0 0 1
1 1 0
· 0 1
0 0 0
1 0 1
 + | 0 1        ·| 0 1
 --+----        --+----
 0 | 0 1        0 | 0 0
 1 | 1 0        1 | 0 1

F3:

 + | 0 1 2       ·| 0 1 2
 --+------       --+------
 0 | 0 1 2       0 | 0 0 0
 1 | 1 2 0       1 | 0 1 2
 2 | 2 0 1       2 | 0 2 1

F4:

 + | 0 1 A B       ·| 0 1 A B
 --+--------       --+--------
 0 | 0 1 A B       0 | 0 0 0 0
 1 | 1 0 B A       1 | 0 1 A B
 A | A B 0 1       A | 0 A B 1
 B | B A 1 0       B | 0 B 1 A

参考文献[编辑]

  1. ^ Moore, E. H., A doubly-infinite system of simple groups, (编) E. H. Moore; 等, Mathematical Papers Read at the International Mathematics Congress Held in Connection with the World's Columbian Exposition, Macmillan & Co.: 208–242, 1896 
  • 《近世代数》

参见[编辑]