泛函分析中,有限秩算子(英語:Finite-rank operator)是巴拿赫空间之间,像的维数有限的有界线性算子。[1]
有限秩算子類似有限大小的矩陣,但是放在無窮維空間中。於是,可藉線性代數技巧刻畫其性質。
由線性代數知,複矩陣之秩為1,當且僅當可以寫成:
- 其中 且
同樣可證希氏空間上,算子之秩為1,當且僅當
其中與有限維情況滿足同等條件。由此,用數學歸納法,可證秩的算子必可寫成
其中和皆為标准正交基。前述表示法實質等同於奇异值分解,可以稱為有限秩算子的「典範型」(canonical form)。
略加推廣,若改為可數無窮,而正實數列僅會聚於0,則為緊算子,相應的和式稱為緊算子的典範型。
若級數(跡)收斂,則是迹类算子。
希氏空間上,全體有限秩算子之族是有界算子代數的雙邊*理想。此外,其為此類(非零)理想中最小者,即的任何雙邊*理想必包含全體有限秩算子。簡證如下:取非零算子,則有非零的使。衹需證對任意,將映至的秩1算子屬於。同樣定義和,則有
從而在中,證畢。
的雙邊*理想舉例有跡類、希尔伯特-施密特算子類、紧算子類。三類各自配備範數,而在此三個賦範空間中稠密。
由於的每個雙邊理想都包含,為單代數當且僅當有限維。
巴拿赫空间之間的有限秩算子是值域僅得有限維的有界算子。與希氏空間的情況一樣,可以寫成
其中,但由於中沒有定義內積,換成上的有界線性泛函。
有界線性泛函是有限秩算子的特例,其秩為1。