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有限秩算子

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泛函分析中,有限秩算子(英語:Finite-rank operator)是巴拿赫空间之间,的维数有限的有界线性算子[1]

希爾伯特空間中

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典範型

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有限秩算子類似有限大小的矩陣,但是放在無窮維空間中。於是,可藉線性代數技巧刻畫其性質。

由線性代數知,矩陣之秩為1,當且僅當可以寫成:

其中

同樣可證希氏空間上,算子之秩為1,當且僅當

其中與有限維情況滿足同等條件。由此,用數學歸納法,可證秩的算子必可寫成

其中皆為标准正交基。前述表示法實質等同於奇异值分解,可以稱為有限秩算子的「典範型」(canonical form)。

略加推廣,若改為可數無窮,而正實數列會聚於0,則緊算子英语compact operator on Hilbert space,相應的和式稱為緊算子的典範型。

若級數(跡)收斂,則迹类算子

代數性質

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希氏空間上,全體有限秩算子之族有界算子代數雙邊*理想。此外,其為此類(非零)理想中最小者,即的任何雙邊*理想必包含全體有限秩算子。簡證如下:取非零算子,則有非零的使。衹需證對任意,將映至的秩1算子屬於。同樣定義,則有

從而中,證畢。

的雙邊*理想舉例有跡類希尔伯特-施密特算子類、紧算子類。三類各自配備範數,而在此三個賦範空間中稠密

由於的每個雙邊理想都包含單代數當且僅當有限維。

巴拿赫空間中

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巴拿赫空间之間的有限秩算子值域僅得有限維的有界算子。與希氏空間的情況一樣,可以寫成

其中,但由於中沒有定義內積,換成上的有界線性泛函

有界線性泛函是有限秩算子的特例,其秩為1。

參考文獻

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  1. ^ Finite Rank Operator - an overview. 2004 [2022-01-24]. (原始内容存档于2022-03-19).