有限群表示論

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數學裡,表示理論是以線性變換的群來分析一般抽象的一種技術。相關的介紹請見群表示,此條目則討論含有有限個元素的群的表示理論。

基本定義[编辑]

此條目中的所有線性變換都是有限維的,且除了有另外提起外,都假定為複數G的表示是一個群同構 ρ:G → GL(n,C),由 G一般線性群 GL(n,C) 的映射。因此,要選定一個表示,則只要將群內的每個元素配定一個方陣,其中方陣的相乘和群元素間的運算會是一樣的。

若矩陣是實數的,則稱 ρ 是 G 的一個實表示。換句話說, ρ(G) ⊂ GL(n,R)。

另一種公式化[编辑]

表示 ρ: G → GL(n,C) 定義了 G 在向量空間 Cn 上的群作用,而且此一作用也可以完全決定 ρ 。因此,要選定一個表示,選定在表示的向量空間上的作用即已足夠。

換言之,群 G 在複向量空間 V 上的作用可以推導出群代數 C[G] 在向量空間 V 上的左作用,反之亦然。因此,表示會等價於左 C[G]-模。

群代數 C[G]是一個在複數上,以 G 作用的 |G| 維代數。(參見彼德-外爾定理緊緻群的例子。)而實際上, C[G]是 G×G 的一個表示。更具體地來說,若 g1g2G 的元素,且 hC[G] 中相對應至 Gh 的一個元素,則

(g1,g2)[h]=g1 h g2-1

C[G] 也可以以三種方式來做為 G 的表示:

  • 共軛: g[h] = g h g-1
  • 左作用: g[h] = g h正則表示
  • 右作用: g[h] = h g-1(同上)

這些都可以在 G×G 作用中被「找到」。

例子[编辑]

對許多的群而言,用矩陣來表示完全是一件很自然的事情。例如,一個二面體群 D4 - 正方形的對稱,即可以兩個鏡射矩陣的表示來產生:

 m = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
 n = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}

這裡, m 是由 (x,y) 映射至 (− x,y) 的鏡射,而 n 則是由 (x,y) 映射至 (y,x) 的鏡射。這些矩陣的相乘一共可以產生構成此群的八個矩陣。如上所述,可以以矩陣來表示,或者也可以以在二維向量空間 (x,y) 上的作用來表示。

此一表示是「真實的」-亦即,在矩陣和群的元素之間是一對一對應的,因為不存在在群作用下不變的 (x,y) 的子空間。

表示間的態射[编辑]

子表示和不可約表示[编辑]

由舊表示建構新表示[编辑]

應用舒爾引理[编辑]

特徵理論[编辑]

歷史[编辑]

另見[编辑]

參考文獻[编辑]

  • Fulton, William; and Harris, Joe. Representation Theory: A First Course. New York: Springer. 1991. ISBN 0-387-97495-4.  The standard graduate level reference for representations of groups in general.
  • James, Gordon; and Liebeck, Martin. Representations and Characters of Finite Groups. Cambridge: Cambridge University Press. 1993. ISBN 0-521-44590-6.  A beautiful and readable introduction; designed for self study.
  • Jean-Pierre, Serre. Linear Representations of Finite Groups. Springer-Verlag. 1977. ISBN 0-387-90190-6.  A very well-written introduction to stated topic: concise and extremely readable.