朗伯W函数

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W0(x)的图像,−1/ex ≤ 4

朗伯W函数英语:Lambert W function,又称为欧米加函数乘积对数),是f(w) = wew反函数,其中ew指数函数w是任意复数。对于任何复数z,都有:

由于函数f不是单射,因此函数W多值的(除了0以外)。如果我们把x限制为实数,并要求w是实数,那么函数仅对于x ≥ −1/e有定义,在(−1/e, 0)内是多值的;如果加上w ≥ −1的限制,则定义了一个单值函数W0(x)(见图)。我们有W0(0) = 0,W0(−1/e) = −1。而在[−1/e, 0)内的w ≤ −1分支,则记为W−1(x),从W−1(−1/e) = −1递减为W−1(0) = −∞。

朗伯W函数不能用初等函数来表示。它在组合数学中有许多用途,例如的计算。它可以用来解许多含有指数的方程,也出现在某些微分方程的解中,例如y'(t) = a y(t − 1)。

复平面上的朗伯W函数

微分和积分[编辑]

朗伯 函数的积分形式为


,若

把被积函数的实部和虚部分离出来:


,则有 ,展开分离出实部和虚部,

,当时,易知


,上式还可化为

隐函数的求导法则,朗伯函数满足以下的微分方程

因此:

函数,以及许多含有的表达式,都可以用变量代换来积分,也就是说

其中欧米加常数

性质[编辑]

其中高德納箭號表示法

、若,则

泰勒级数[编辑]

的泰勒级数如下:

收敛半径


加法定理[编辑]

複數值[编辑]

實部

,

虛部

,

模長

模角

,

共軛值

,

特殊值[编辑]

欧米加常数

应用[编辑]

许多含有指数的方程都可以用函数来解出。一般的方法是把未知数都移到方程的一侧,并设法化为的形式。

例子[编辑]

例子1

更一般地,以下的方程

其中

两边同乘:

得到:

同除以:

得到:

同除:

可以用变量代换

化为

即:

同乘:

得出

带入

因此最终的解为

若辅助方程:中,

,

辅助方程无实数解,原方程亦无实解;

若:,

辅助方程有一实数解,原方程有一实解:

若: ,

辅助方程有二实解,设为

例子2

用类似的方法,可知以下方程的解

例子3

以下方程的解

具有形式


例子4
 :  :

取对数,

取倒数,

最终解为 :

例子5

两边开次方并除以

化为

两边同乘

最终得

一般化[编辑]

標準的 Lambert W 函數可用來表示以下超越代數方程式的解:

其中 a0, cr 為實常數。

其解為

Lambert W 函數之一般化[1][2][3] 包括:

  • 一項在低維空間內廣義相對論量子力學的應用(量子引力),實際上一種以前未知的 連結 於此二區域中,如 “Journal of Classical and Quantum Gravity”[4] 所示其 (1) 的右邊式現為二維多項式 x:
其中 r1r2 是不同實常數,為二維多項式的根。於此函數解有單一引數 xriao 為函數的參數。如此一來,此一般式類似於 “hypergeometric”(超几何分布)函數與 “Meijer G“,但屬於不同類函數。當 r1 = r2,(2)的兩方可分解為 (1) 因此其解簡化為標準 W 函數。(2)式代表著 “dilaton”(軸子)場的方程,可據此推導線性,雙體重力問題 1+1 維(一空間維與一時間維)當兩不等(靜止)質量,以及,量子力學的特徵能Delta位勢阱給不等電位於一維空間。
  • 量子力學的一特例特徵能的分析解三體問題,亦即(三維)氢分子離子[5]於此 (1)(或 (2))的右手邊現為無限級數多項式之比於 x
其中 risi 是相異實常數而 x 是特徵能和內核距離R之函數。式 (3) 與其特例表示於 (1) 和 (2) 是與一更大類型延遲微分方程

Lambert "W" 函數於基礎物理問題之應用並未完全即使標準情況如 (1) 最近在原子,分子,與光學物理領域可見。[6]

图象[编辑]

计算[编辑]

W函数可以用以下的递推关系算出:

参考来源[编辑]

  1. ^ T.C. Scott and R.B. Mann, General Relativity and Quantum Mechanics: Towards a Generalization of the Lambert W Function, AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing), vol. 17, no. 1, (April 2006), pp.41-47, [1]; Arxiv [2]
  2. ^ T.C. Scott, G. Fee and J. Grotendorst, "Asymptotic series of Generalized Lambert W Function", SIGSAM, vol. 47, no. 3, (September 2013), pp. 75-83
  3. ^ T.C. Scott, G. Fee, J. Grotendorst and W.Z. Zhang, "Numerics of the Generalized Lambert W Function", SIGSAM, vol. 48, no. 2, (June 2014), pp. 42-56
  4. ^ P.S. Farrugia, R.B. Mann, and T.C. Scott, N-body Gravity and the Schrödinger Equation, Class. Quantum Grav. vol. 24, (2007), pp. 4647-4659, [3]; Arxiv [4]
  5. ^ T.C. Scott, M. Aubert-Frécon and J. Grotendorst, New Approach for the Electronic Energies of the Hydrogen Molecular Ion, Chem. Phys. vol. 324, (2006), pp. 323-338, [5]; Arxiv [6]
  6. ^ T.C. Scott, A. Lüchow, D. Bressanini and J.D. Morgan III, The Nodal Surfaces of Helium Atom Eigenfunctions, Phys. Rev. A 75, (2007), p. 060101, [7]

外部链接[编辑]