朗斯基行列式

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数学中,朗斯基行列式(Wronskian)名自波兰数学家约瑟夫·侯恩·朗斯基,是用于计算微分方程解空间函数

对于给定的 nn-1连续可微函数,f1、...、fn,它们的朗斯基行列式 W(f1, ..., fn) 为:

行列式的第 i 行是f1、...、fn 各函数的 i-1导数。组成这个行列式的 n方阵也称作这 n 个函数的基本矩阵

在解线性微分方程时,朗斯基行列式可以用阿贝尔恒等式来计算。

朗斯基行列式与线性无关解[编辑]

朗斯基行列式可以用来确定一组函数在给定区间上的线性相关性。

对于 nn-1连续可微函数 f1、...、fn,它们的朗斯基行列式 W(f1, ..., fn) :

定理:

如果f1、...、fn 在一個區間[a,b] 上線性相關,則W(f1, ..., fn) 在區間[a, b] 上恆等於零

也就是说,如果在某些点上 W(f1, ..., fn) 不等于零,则 f1、...、fn 线性无关

注意,若 W(f1, ..., fn) 在区间 [a,b] 上恒等于零,函数组不一定线性相关。

齐次线性微分方程[编辑]

考虑 n 阶线性微分方程

其中是区间 [a,b] 上的连续函数。并考虑,即 n 阶齐次线性微分方程的情形:

对于一组给定的初始值:

方程 (1) 有唯一解。如果初始值不定的话,(2) 的任一解加上仍然是 (1) 的解。而对于 (2) ,任意k个 (2) 的解的和仍然是 (2) 的解,因此 (2) 的解集构成一个线性空间,称为 (2) 的解空间

定理的证明[编辑]

如果 f1、...、fn 在一个区间 [a,b] 上线性相关,则存在不全为零的系数使得对区间 [a,b] 上的任意 t

因为“微分”是线性算子,所以这个等式可以“延伸”到n-1阶导数。故有以下方程组:

看作变量,则上式变为一个 n 元齐次线性方程组,由于这个方程有非零解,系数矩阵的行列式 W(f1, ..., fn) = 0。

进一步可以证明, W(f1, ..., fn) 要么在区间 [a,b] 上恒等于零,要么处处不为零(没有零根)。于是可以证明 (2) 有 n 个线性无关的解,并且它们线性张成的空间就是 (2) 的解空间。所以, (2) 的解空间是一个 n 维线性空间。 (2) 一组 n 个线性无关的解称作它的一个基本解组

例子[编辑]

1. 考虑三个函数:1、xx2,在任意一个区间上,他们的朗斯基行列式是:

不等于零,因此,这三个函数在任一个区间上都是线性无关的。

2.考虑另三个函数:1、x2和2x2+3,在任意一个区间上,他们的朗斯基行列式是:

事实上三者线性相关。

3.上面已经提到,朗斯基行列式等于零的函数组不一定线性相关。下面是一个反例:考虑两个函数,x3和|x3|,即x3绝对值。计算两者的朗斯基行列式

他们的朗斯基行列式恒等于零,但两者显然线性无关。

参考[编辑]

外部链接[编辑]