朱世杰恒等式

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朱世杰恒等式组合数的一阶求和公式。元朝數學家朱世傑在《四元玉鑒》中,利用垛積術招差術給出:

[1]

或以再與上式作差,寫成:

证明[编辑]

递归方法[编辑]

欲證

可以反覆使用帕斯卡法則合併左式首兩項。

组合方法[编辑]

元集个元素,有种方法。

必有时,在个元素中选个元素,排除,必有时,在个元素中选个元素,排除,如此类推,直到必有时,在个元素中选个元素。

[2]

应用[编辑]

朱世杰恒等式可应用于等幂求和问题。例如:

[3]

参考资料[编辑]

  1. ^ 羅見今. 朱世傑—范德蒙公式的發展簡介. 數學傳播 (中央研究院數學研究所). 2008-12, 32 (4 (128)) [2022-11-23]. 
  2. ^ 伍启期. 组合数列求和. 佛山科学技术学院学报(自然科学版). 1996, (4) [2014-05-24]. (原始内容存档于2019-05-02). 
  3. ^ 田达武. 朱世杰恒等式及其应用. 数学教学通讯. 2009, (36) [2014-05-24]. (原始内容存档于2020-01-15).