李代数上同调

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在数学中,李代数上同调李代数的一种上同调理论,由谢瓦莱艾伦伯格[1]为了对紧李群拓扑空间的上同调进行代数构造而建立。在上文提及的论文中,一个特定的被称作Koszul复形英语Koszul_complex的特殊复形,在李代数的上定义,而其上同调则以一般形式被构造。

动机[编辑]

令G为一个紧李群,则其被对应的李代数完全确定,因此由李代数来确定李群上同调应为可能的。我们使用如下的构造。注意到李群的上同调是G上的微分形式构成的复形对应的德拉姆上同调,而这个复形可以被替换为等变微分形式的复形,而后者则可以被看作带有一个合适的微分算子的李代数的外代数。这一微分算子的构造对于任何李代数都成立,因此被用于定义所有李代数的李代数上同调。更加一般化地,我们可以用类似的构造来定义模系数的李代数上同调。

定义[编辑]

是一个交换环R上的一个李代数,其泛包络代数;令M为的一个表示(或者,等效地,的一个模)。将R考虑为的一个平凡表示,则可以构造上同调群

(参见Ext函子)。等效地,我们可以将其看作下面这个左正合不变子模函子的右导出函子

类似地,可以定义李代数同调群为

(参见Tor函子)。我们也可以将其看作下面这个右正合协不变函子的左导出函子:

李代数上同调的重要基本结果包括:怀特海德引理英语Whitehead's_lemma_(Lie_algebras)外尔定理英语Weyl's_theorem_on_complete_reducibility莱维分解定理英语Levi_decomposition

低维上同调[编辑]

第零上同调群,由定义,是李代数在模上作用的不变量:

第一上同调群,是所有导子的空间模去内导子空间:

其中导子指一个从李代数到M的映射d使得

若有M内的元素a使得

则称其为内导子。

第二上同调群

是由M对李代数的李代数扩张的等价类的空间

对于更高维的上同调群,似乎没有简单的诠释存在。

参见[编辑]

注释[编辑]

文献[编辑]