条件收敛

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条件收敛数学无穷级数广义积分的一种性质。收敛但不绝对收敛的无穷级数或广义积分称为条件收敛的。一个积分条件收敛的函数也称为条件可积函数。

详细定义[编辑]

条件收敛的级数[编辑]

给定一个实数项无穷级数,如果它自身收敛于一个定值

但由每一项的绝对值构成的正项级数:不收敛:

那么就称这个无穷级数是一个条件收敛的无穷级数。[1]:149

条件收敛的广义积分[编辑]

给定一个在区间上有定义的函数,如果在任意的闭区间上都可积,并且广义积分:

收敛,而函数绝对值的广义积分:

发散,那么就称广义积分条件收敛。[2]:104

例子[编辑]

无穷级数[编辑]

常见的条件收敛的无穷级数包括交错调和级数

它收敛到定值:,而对应的由每项的绝对值构成的正项函数:叫做调和级数,是发散的。

广义积分[编辑]

条件收敛的广义积分的一个例子是函数:在正实数轴上的积分:

任取实数,运用分部积分法可以得到:

而对任意的正实数

柯西收敛原理可知广义积分收敛,所以

即积分:收敛。但是,绝对值函数的积分:不收敛。这是因为对任意自然数,积分:

所以

因此,积分是条件收敛的。[2]:104-106

相关定理[编辑]

  • 黎曼级数定理:假设是一个条件收敛的无穷级数。对任意的一个实数,都存在一种从自然数集合到自然数集合的排列,使得

此外,也存在另一种排列,使得

类似地,也可以有办法使它的部分和趋于,或没有任何极限。[3]:192

反之,如果级数是绝对收敛的,那么无论怎样重排,它仍然会收敛到同一个值,也就是级数的和。[3]:193

参见[编辑]

参考来源[编辑]

  1. ^ J. A. Fridy. Introductory analysis: the theory of calculus. Gulf Professional Publishing. 2000. ISBN 9780122676550. 
  2. ^ 2.0 2.1 清华大学数学科学系. 《微积分》. 北京: 清华大学出版社有限公司. 2003. ISBN 9787302069171. 
  3. ^ 3.0 3.1 S. Ponnusamy. Foundations of mathematical analysis. Springer. 2012. ISBN 9780817682927.