极值定理

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闭区间[a,b]上的连续函数ƒ(x),其最大值为红色点,最小值为蓝色点。

微积分中,极值定理说明如果实函数f闭区间[a,b]上是连续函数,则它一定取得最大值最小值,至少一次。也就是说,存在[a,b]内的cd,使得:

对于所有

一个相关的定理是有界性定理,它说明闭区间[a,b]内的连续函数f在该区间上有界。也就是说,存在实数mM,使得:

对于所有

极值定理强化了有界性定理,它表明函数不仅是有界的,而且它的最小上界就是最大值,最大下界就是最小值。

定理的证明[编辑]

我们来证明f上界和存在最大值。把这个结果应用于函数–f,也可推出f 的下界和存在最小值。

我们首先证明有界性定理,它是证明极值定理中的一个步骤。

有界性定理的证明[编辑]

假设函数f在区间[a,b]内連續且没有上界,那么对于每一个自然数n,都存在[a,b]内的一个xn(仼定的),使得f(xn) > n。这便定义了一个序列{xn}。由于[a,b]是有界的,根据波尔查诺-魏尔施特拉斯定理,可推出存在{xn}的一个收敛的子序列。把它的极限记为x。由于[a,b]是闭区间,它一定含有x。因为fx处连续,我们知道收敛于实数f(x)。但对于所有的k,都有,这意味着发散于无穷大。前者描述為收斂,後者描述為無窮大,得出矛盾。因此,f在[a,b]内有上界。同理f在[a,b]内有下界。证毕。

极值定理的证明1[编辑]

基本步骤为:

  1. 寻找一个序列,它的收敛于f最小上界
  2. 证明存在一个子序列,它收敛于定义域内的一个点。
  3. 用连续性来证明子序列的像收敛于最小上界。

我们现在证明函数f 在区间[a,b]内有最大值。根据有界性定理,f 有上界,因此,根据实数的戴德金完备性f 的最小上界M存在。我们需要寻找[a,b]内的一个d,使得M = f (d)。设n为一个自然数。由于M是最小上界,M – 1/n就不是 f 的上界。因此,存在[a,b]内的dn,使得M – 1/n < f (dn)。这便定义了一个序列{dn}。由于Mf 的一个上界,我们便有M – 1/n < f (dn) ≤ M,对于所有的n。因此,序列收敛于M

根据波尔查诺-魏尔施特拉斯定理,可知存在一个子序列,它收敛于某个d,且由于[a,b]是闭区间,。因为fd 处连续,所以序列收敛于f (d)。但的一个子序列,收敛于M,因此M = f (d)。所以,fd 处取得最小上界M。证毕。

极值定理的证明2[编辑]

[1]Mf 在区间[a,b]上的最小上界,我们要证明存在使得。我们使用反证法:如若不然,对任意 ,所以,对任意的。我们考虑正值的函数

因为分母不是零,这个函数是良定义的,并且是连续的。然而,由于Mf (x)的最小上界,所以存在 ,使得f (x)可以无限地接近M,从而g(x)是无界的。这和有界性定理矛盾。证毕。

注: 上面构造函数g(x)来证明最大值能在某个d取到的方法也在代数基本定理的基于Liouville定理的证明中出现。

例子[编辑]

以下的例子说明了为什么函数的定义域需要是闭的有界的

  1. 定义在[0,∞)的函数f(x) = x没有上界。
  2. 定义在[0,∞)的函数f(x) = x/(1 + x)有界,但不取得最小上界1。
  3. 定义在(0,1]的函数f(x) = 1/x没有上界。
  4. 定义在(0,1]的函数f(x) = 1 –x有界,但不取得最小上界1。

推广到半连续函数[编辑]

如果把f的连续性减弱为半连续,则有界性定理和极值定理的对应的一半仍然成立,且扩展的实数轴上的值–∞和+∞也可以允许为可能的值。更加精确地:

定理:如果函数f : [a,b] → [–∞,∞)是上半连续的,也就是说,对于[a,b]内的所有x,都有:

那么f有上界,且取得最小上界。

证明:如果对于[a,b]内的所有x,都有f(x) = –∞,那么最小上界也是–∞,于是定理成立。在任何其它情况下,只需把上面的证明稍加修改便可。在有界性定理的证明中,fx处的半连续性只意味着子序列上极限有上界f(x) < ∞,但这已足以得到矛盾。在极值定理的证明中,fd处的半连续性意味着子序列的上极限有上界f(d),但这已足以推出f(d) = M的结论。证毕。

把这个结果应用于−f,可得:

定理:如果函数f : [a,b] → (–∞,∞]是下半连续的,也就是说,对于[a,b]内的所有x,都有:

那么f有下界,且取得最大下界

一个实函数是上半连续且下半连续的,当且仅当它是连续的。因此,从这两个定理就可以推出有界性定理和极值定理。

参考文献[编辑]

外部链接[编辑]

  1. ^ 存档副本 (PDF). [2022-10-16]. (原始内容存档 (PDF)于2022-10-16).