林德曼-魏尔斯特拉斯定理

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林德曼-魏尔斯特拉斯定理Lindemann–Weierstrass theorem)是一个可以用于证明实数的超越性的定理。它表明,如果 α1,...,αn 是代数数,在有理数 内是线性独立的,那么e^{\alpha_1}, \ldots,e^{\alpha_n}在  内是代数独立的;也就是说,扩张域\mathbb{Q}(e^{\alpha_1}, \ldots,e^{\alpha_n})在  内具有超越次数n

一个等价的表述是:如果 α1,...,αn 是不同的代数数,那么指数 e^{\alpha_1}, \ldots,e^{\alpha_n} 在代数数范围内是线性独立的。

这个定理由林德曼魏尔斯特拉斯命名。林德曼在1882年证明了对于任何非零的代数数α,eα都是超越数,因此推出了圆周率是超越数。魏尔斯特拉斯在1885年证明了一个更一般的结果。

这个定理,以及格尔丰德-施奈德定理,可以推广为Schanuel猜想

e和π的超越性[编辑]

eπ的超越性是这个定理的直接推论。

假设α是一个非零的代数数,那么{α}在有理数范围内是线性独立的集合,因此根据定理的第一种表述,{eα}是一个代数独立的集合,也就是说,eα是超越数。特别地,e1 = e是超越数。

另外,利用定理的第二种表述,我们可以证明,如果α是一个非零的代数数,那么{0, α}就是不同的代数数的集合,因此集合\{e^0,e^\alpha\}=\{1,e^\alpha\}在代数数范围内是线性独立的,特别地,eα不能是代数数,因此一定是超越数。

现在,我们来证明π是超越数。如果π是代数数,2πi也是代数数(因为2i是代数数),那么根据林德曼-魏尔斯特拉斯定理, ei = 1(参见欧拉公式)也是超越数,这与1是代数数的事实矛盾。

把这个证明稍微改变以下,可以证明如果α是一个非零的代数数,那么sin(α)、cos(α)、tan(α)和它们的双曲函数也是超越数。

p进数猜想[编辑]

p进数林德曼-魏尔斯特拉斯猜想,就是这个定理在p进数中也成立:假设p素数,α1,...,αnp进数,它们都是代数数,且在Q内线性独立,使得对于所有的i,都有|\alpha_i|_p < 1/p。那么p进指数e^{\alpha_1}, \ldots, e^{\alpha_n}Q内是代数独立的。

参见[编辑]

参考文献[编辑]

  • Baker, Alan, Transcendental Number Theory, Cambridge University Press. 1975, ISBN 052139791X 

外部链接[编辑]