林德曼-魏尔斯特拉斯定理

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林德曼-魏尔斯特拉斯定理Lindemann–Weierstrass theorem)是一个可以用于证明实数的超越性的定理。它表明,如果 是代数数,在有理数 内是线性独立的,那么在  内是代数独立的;也就是说,扩张域在  内具有超越次数n

一个等价的表述是:如果是不同的代数数,那么指数在代数数范围内是线性独立的。

这个定理由林德曼魏尔斯特拉斯命名。林德曼在1882年证明了对于任何非零的代数数都是超越数,因此推出了圆周率是超越数。魏尔斯特拉斯在1885年证明了一个更一般的结果。

这个定理,以及格尔丰德-施奈德定理,可以推广为Schanuel猜想

e和π的超越性[编辑]

eπ的超越性是这个定理的直接推论。

假设是一个非零的代数数,那么在有理数范围内是线性独立的集合,因此根据定理的第一种表述,是一个代数独立的集合,也就是说,是超越数。特别地,是超越数

另外,利用定理的第二种表述,我们可以证明,如果是一个非零的代数数,那么就是不同的代数数的集合,因此集合在代数数范围内是线性独立的,特别地,不能是代数数,因此一定是超越数。

现在,我们来证明是超越数。如果π是代数数,也是代数数(因为是代数数),那么根据林德曼-魏尔斯特拉斯定理, (参见欧拉公式)也是超越数,这与1是代数数的事实矛盾。

把这个证明稍微改变以下,可以证明如果是一个非零的代数数,那么和它们的双曲函数也是超越数。

进数猜想[编辑]

进数林德曼-魏尔斯特拉斯猜想,就是这个定理在p进数中也成立:假设素数进数,它们都是代数数,且在内线性独立,使得对于所有的,都有。那么p进指数内是代数独立的。

参见[编辑]

参考文献[编辑]

  • Baker, Alan, Transcendental Number Theory, Cambridge University Press, 1975, ISBN 052139791X 

外部链接[编辑]