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柯西中值定理

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中值定理

相关条目微积分学

柯西中值定理,也叫拓展中值定理,是拉格朗日中值定理的推广,是微分学的基本定理之一。

内容[编辑]

如果函数满足

  1. 在闭区间上连续;
  2. 在开区间内可微分,
  3. 对任意,那么在内至少有一点使等式
柯西定理的几何意义

成立。

其几何意义为:用参数方程表示的曲线上至少有一点,它的切线平行于两端点所在的

但柯西定理不能表明在任何情况下不同的两点(f(a),g(a))和(f(b),g(b))都存在切线,因为可能存在一些c值使f′(c) = g′(c) = 0,换句话说取某个值时位于曲线的驻点;在这些点似乎曲线根本没有切线。下面是这种情形的一个例子

在区间[−1,1]上,曲线由(−1,0)到(1,0),却并无一个水平切线;然而它有一个驻点(实际上是一个尖点)在t = 0时。

柯西中值定理可以用来证明洛必达法则. (拉格朗日)中值定理是柯西中值定理当g(t) = t时的特殊情况。

证明[编辑]

首先,如果,由罗尔定理,存在一点使得,与条件3矛盾。所以

。那么

  1. 上连续,
  2. 上可导,
  3. 。由罗尔定理,存在一点使得。即。命题得证。

参见[编辑]