柯西乘积

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数学上,以法国数学家奧古斯丁·路易·柯西命名的柯西乘积,是指两组数列的离散卷积

该数列乘积被认为是自然数的半群环的元素。

级数[编辑]

一个特别重要的例子是考虑两个严格的形式级数(不需要收敛

一般地,对于实数复数柯西乘积定义为如下的离散卷积形式:

这里

“形式”是指我们对级数运算时不考虑是否收敛,参见形式幂级数

人们希望,通过对两组级数做实际卷积的有限和的类推,得到无穷级数

等于如下乘积:

就如同两个数列的和是有限范围一样做乘法。

在充分良态well-behaved)的情况下,上述式子成立。而更重要的一点,尽管这两个无穷级数可能不收敛,它们的柯西乘积仍可能存在。

示例[编辑]

有穷级数[编辑]

对于,有 即为有穷级数,则 柯西乘积可以展开为,因此可以直接计算乘积。

无穷级数[编辑]

  • 对某些,构造,由定义和二项式展开可知:

形式上, ,我们已表明。由于该两个绝对收敛数列的柯西乘积等于两个数列极限的乘积,(见下面的证明),因此我们就可证明这个表达式对于

  • 另外一个例子,令),则 对所有成立,则柯西乘积 ,该乘积不收敛。

收敛和梅尔滕斯定理[编辑]

x, y为实数数列,弗兰兹·梅尔滕斯(Franz Mertens)提出,如果级数收敛Y,且级数绝对收敛X,则他们的柯西乘积 收敛到XY。对于两个级数为条件收敛时,结论不成立。例如序列 是一个条件收敛序列,而 不收敛到0.

下面是一个证明:

梅尔滕斯定理的证明[编辑]

,重排后

,对任意给定的 ε > 0,因为绝对收敛,收敛,因此存在一个整数N,对于任意nN ,和存在一个正整数M,对于所有 ,有(由级数收敛,则式子收敛到0),同样的,存在一个整数L ,如果有 ,则

因此,对于所有n大于N, M, L,有:

根据收敛的定义,即:

切萨罗定理[编辑]

如果xy是实数数列,且,则有:

推广[编辑]

所有上述证明也可推广到复数级数。柯西乘积可以定义在乘法为内积欧式空间上。这种情况下,如果两组数列绝对收敛,则柯西乘积绝对收敛到数列极限的内积 。

与卷积函数的关系[编辑]

我们可以定义柯西乘积为双向无限数列,视为上的函数。这种情况并非总能定义柯西乘积。例如:常数级数1和其本身的柯西乘积,

有的有一些配对,比如任何级数与一个有限级数的乘积,的乘积,这与Lp空间有关。