柯西函數方程

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柯西函數方程是以下的函數方程

此方程的解被稱為加性函數

方程的解[编辑]

有理數的範圍中,可以用簡單的代數得到唯一一類的解,表示為,其中任意給定的有理數。

實數中,這個方程仍然有這一類解,然而存在著其他非常複雜的解,函數 f 經常被外加條件以排除那些複雜的解。例如:

  • f連續的 (由柯西於1821年證明)。這個條件在1875年被達布弱化,證明 f 只需要在一點連續。
  • f 在任一個區間上是單調
  • f 在任一個區間上是有界

另一方面,如果函數 f 沒有其他限制條件,那麼滿足方程的函數有無窮多個(假設選擇公理成立)。這在1905年由喬治·哈梅爾英语Georg Hamel使用的概念證明。

希爾伯特的第五個問題是這個方程的推廣。

存在實數使得的解稱為柯西─哈默方程(英语:Cauchy-Hamel function(s))。在希爾伯特的第三個問題中,往高維度的推廣所用的德恩-哈德維格不變量(英语:Dehn-Hadwiger invariant(s)),其中就用到柯西-哈默方程。[1]

在有理數集下的證明[编辑]

先設,得到:

再設

反覆設、...、,可以得到

...(1)

並代入(1)式得到:

或者...(2)

對於任意有理數,設,根據(1)、(2)兩式可知:

上式又可改寫為

就可以得到在有理數下的唯一解。

其他解的性質[编辑]

以下的證明將顯示(若存在)線性函數以外的解,該解是相當病態英语Pathological (mathematics)的函數。我們將證明這個函數f所對應的圖形稠密,亦即在平面上任何給定的圓都至少包含該圖形的一個點,我們將從這個定義著手證明。

不失一般性,假設解f滿足,且能找到實數滿足,同時設

任意給定一個圓,其內部必能找到一個小圓以點為圓心,其中滿足。令實數為半徑的倍,即半徑為

,存在一個有理數滿足:

類似地,存在一個有理數使得:

設實數X,Y滿足:

從原方程和以上的關係式可以得知:

由以上關係式可知

在指定的小圓內,

於是在原本較大的圓內;

即在中任意給定的圓內皆包含圖形的一點;

的圖形在中稠密,得證。

另一方法:如f 不是线性函数,存在独立。任取, , 是有理数序列的极限, f 的图形的聚点。

其他解的形式與證明[编辑]

與有理數的情形使用相同的方式,可以證明線性解的證明在任意的集合上也成立,其中(表示所有有理數乘上的積的集合,以下亦同)
我們可以透過這點找出函數方程的所有解。但這個方式極度地不可構造,而且是以選擇公理為基礎得到的。

在承認選擇公理的前提下,在上存在一個基底,也就是這樣的集合: ,使得對於任何實數,存在唯一的有限集合 以及唯一對應的 個有理數,滿足:

設想函數方程在實數集的子集上成立,即滿足,其中 的有理數倍。 運用前面推導的結論,得到對任意實數滿足方程的函數:

對於所有,以上 是函數方程的解。其中 為線性的充要條件是 是常數函數。

參考資料[编辑]

  1. ^ V.G. Boltianskii (1978) "Hilbert's third problem", Halsted Press, Washington

外部連結[编辑]