柯西乘积

在数学上，以法国数学家奧古斯丁·路易·柯西命名的柯西乘积，是指两组数列$a_{n},b_{n}$的离散卷积。

$c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}.$

该数列乘积被认为是自然数$R[\mathbb {N} ]$的半群环的元素。

级数

一个特别重要的例子是考虑两个严格的形式级数（不需要收敛）$a_{n},b_{n}$：

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n},\qquad \sum _{n=0}^{\infty }b_{n},$

一般地，对于实数和复数，柯西乘积定义为如下的离散卷积形式：

$\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n},$

这里 $c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k},\,n=0,1,2,\ldots$

“形式”是指我们对级数运算时不考虑是否收敛，参见形式幂级数。

人们希望，通过对两组级数做实际卷积的有限和的类推，得到无穷级数

$\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}$

等于如下乘积：

$\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}\right)$

就如同两个数列的和是有限范围一样做乘法。

在充分良态的情况下，上述式子成立。而更重要的一点，尽管这两个无穷级数可能不收敛，它们的柯西乘积仍可能存在。

示例

有穷级数

对于$i>n$、$i>m$，有$x_{i}=0$，$y_{i}=0$ 即为有穷级数，则$\sum x$和 $\sum y$ 柯西乘积可以展开为$(x_{0}+\cdots +x_{n})(y_{0}+\cdots +y_{m})$，因此可以直接计算乘积。

无穷级数

• 对某些$a,b\in \mathbb {R}$，构造$x_{n}=a^{n}/n!\,$和$y_{n}=b^{n}/n!\,$，由定义和二项式展开可知：

$C(x,y)(n)=\sum _{i=0}^{n}{\frac {a^{i}}{i!}}{\frac {b^{n-i}}{(n-i)!}}={\frac {(a+b)^{n}}{n!}}$

形式上， $\exp(a)=\sum x$，$\exp(b)=\sum y$，我们已表明$\exp(a+b)=\sum C(x,y)$。由于该两个绝对收敛数列的柯西乘积等于两个数列极限的乘积，（见下面的证明），因此我们就可证明这个表达式对于 $a,b\in \mathbb {R}$有$\exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)$

• 另外一个例子，令$x(n)=1$（$n\in \mathbb {N}$），则 $C(x,x)(n)=n+1$对所有$n\in \mathbb {N}$成立，则柯西乘积 $\sum C(x,x)=(1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,\dots )$ ，该乘积不收敛。

收敛和梅尔滕斯定理

令x, y为实数数列，弗兰兹·梅尔滕斯（Franz Mertens）提出，如果级数$\sum y$收敛到Y，且级数$\sum x$绝对收敛到X，则他们的柯西乘积 $\sum C(x,y)$收敛到XY。

对于两个级数为条件收敛时，结论未必成立。如下反例所示：

例子

考虑下述两交错级数：

$a_{n}=b_{n}={\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n+1}}}\,,$

它们都是收敛的（其绝对值构成的级数因比较审敛法和调和级数的发散性而发散）。其柯西乘积的项由下式给出：

$c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{\sqrt {k+1}}}\cdot {\frac {(-1)^{n-k}}{\sqrt {n-k+1}}}=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{\sqrt {(k+1)(n-k+1)}}}$

其中整数 n ≥ 0。因为对于所有 k ∈ {0, 1, ..., n} 我们都有不等式 k + 1 ≤ n + 1 及 n – k + 1 ≤ n + 1，故对分母中的根式有 √(k + 1)(n − k + 1) ≤ n +1。因此，由于共有 n + 1 个被加项，故对于所有的整数 n ≥ 0有

$|c_{n}|\geq \sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{n+1}}=1$

因此，c_n 在 n → ∞ 时并不趋于 0，级数 ∑ c_n 发散（项测试）。

梅尔滕斯定理的证明

令$X_{n}=\sum _{i=0}^{n}x_{i}$，$Y_{n}=\sum _{i=0}^{n}y_{i}$ ，$C_{n}=\sum _{i=0}^{n}C(x,y)(i)$，$C_{n}=\sum _{i=0}^{n}\sum _{k=0}^{i}x_{k}y_{i-k}=\sum _{i=0}^{n}Y_{i}x_{n-i}$ (重排后)。

则$C_{n}=\sum _{i=0}^{n}(Y_{i}-Y)x_{n-i}+YX_{n}$，对任意给定的 ε > 0，因为$\sum x$绝对收敛，$\sum y$收敛，因此存在一个整数N，对于任意n ≥ N $|Y_{n}-Y|<{\frac {\varepsilon /4}{\sum _{n=0}^{\infty }|x_{n}|+1}}$ ，和存在一个正整数M，对于所有 $n\geq M$ ，有$|x_{n-N}|<{\frac {\varepsilon /4}{N\sup |Y_{n}-Y|+1}}$（由级数絕對收敛，则式子收敛到0），同样的，存在一个整数L ，如果有 $n\geq L$，则 $|X_{n}-X|<{\frac {\varepsilon /2}{|Y|+1}}$。

因此，对于所有n大于N, M, L，有：

$|C_{n}-XY|=|\sum _{i=0}^{n}(Y_{i}-Y)x_{n-i}+Y(X_{n}-X)|\leq \sum _{i=0}^{N-1}|Y_{i}-Y||x_{n-i}|+\sum _{i=N}^{n}|Y_{i}-Y||x_{n-i}|+|Y||X_{n}-X|<\varepsilon$

根据收敛的定义，即：$\sum C(x,y)\to XY.$

切萨罗定理

如果x，y是实数数列，且$\sum x\to A$，$\sum y\to B$，则有：

${\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=0}^{n}C(x,y)_{n}\right)\to AB.$

推广

所有上述证明也可推广到$\mathbb {C}$复数级数。柯西乘积可以定义在乘法为内积的欧式空间$\mathbb {R} ^{n}$上。这种情况下，如果两组数列绝对收敛，则柯西乘积绝对收敛到数列极限的内积 。

与卷积函数的关系

我们可以定义柯西乘积为双向无限数列，视为$\mathbb {Z}$上的函数。这种情况并非总能定义柯西乘积。例如：常数级数1和其本身的柯西乘积，$(\dots ,1,\dots )$。

有的有一些配对，比如任何级数与一个有限级数的乘积，$\ell ^{1}\times \ell ^{\infty }$的乘积，这与L^p空间有关。