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柯西-施瓦茨不等式

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數學上,柯西-施瓦茨不等式,又稱施瓦茨不等式柯西-布尼亞科夫斯基-施瓦茨不等式,是一條很多場合都用得上的不等式;例如線性代數矢量數學分析無窮級數和乘積的積分,和概率論方差協方差。它被认为是最重要的数学不等式之一。它有一些推广,如赫尔德不等式

不等式以奧古斯丁·路易·柯西(Augustin Louis Cauchy),赫爾曼·阿曼杜斯·施瓦茨(Hermann Amandus Schwarz),和維克托·雅科夫列維奇·布尼亞科夫斯基英语Viktor_Bunyakovsky(Виктор Яковлевич Буняковский)命名。

叙述[编辑]

对于一个內積空間中的向量xy,有

其中表示內積,也叫点积。等价地,将两边开方,等式右边即可以写为两向量范數乘积的形式。

另外,當且僅當xy線性相關时,等式成立(仅两个向量而言,线性相关等同于平行)。

有虚部,内积即为标准内积。如果用拔(bar,上划线)标记共轭复数,这个不等式可以更明确地表述为

由柯西—施瓦茨不等式可以推得一个重要结果:內積是连续的,甚至满足一阶利普希茨条件

特例[编辑]

等式成立時:

也可以表示成

證明則須考慮一個關於的一個一元二次方程式

很明顯的,此方程式無實數或有重根,故其判別式

注意到

而等號成立於判別式

也就是此時方程式有重根,故

  • 對平方可積的複值函數,有

這兩例可更一般化為赫爾德不等式

这是
n=3 时的特殊情况。

矩阵不等式[编辑]

列向量,则[a]

x=0時不等式成立,设x非零,,则
等号成立线性相关

Hermite阵,且,则

存在,设
等号成立线性相关

Hermite阵,且,则

存在,设
等号成立线性相关[1]

,则[2]

复变函数中的柯西不等式[编辑]

在区域D及其边界上解析, 为D内一点,以为圆心做圆周 ,只要及其内部G均被D包含,则有:

其中,M是的最大值,

其它推广[编辑]

[3]

[4]

參見[编辑]

注释[编辑]

  1. ^ 表示x的共轭转置

参考资料[编辑]

  1. ^ 王松桂. 矩阵不等式-(第二版). 
  2. ^ 程伟丽 齐静. Cauchy不等式矩阵形式的推广. 郑州轻工业学院学报(自然科学版). 2008, (4). 
  3. ^ 赵明方. Cauchy不等式的推广. 四川师范大学学报(自然科学版). 1981, (2). 
  4. ^ 洪勇. 推广的Cauchy不等式的再推广. 曲靖师范学院学报. 1993, (S1).