根軌跡圖

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一個根軌跡圖,部份的極點在右半平面,表示當時的系統會不穩定

根軌跡圖(root locus)是控制理論穩定性理論英语stability theory中,繪圖分析的方式,可以看到在特定參數(一般會是回授系統的环路增益)變化時,系統極點的變化。根軌跡圖是由Walter R. Evans英语Walter R. Evans所發展的技巧,是經典控制理論英语Classical control theory中的稳定性判据,可以判斷線性非時變系統是否穩定

根軌跡圖是在複數s-平面中,系統閉迴路傳遞函數极点隨著增益參數的變化(參照極零點圖英语Pole–zero plot)。

用途[编辑]

極點位置及二階系統中自然頻率及阻尼比的關係

除了確認系統的穩定性外,根軌跡圖也可以用來設計回授系統的阻尼比ζ)及自然頻率ωn)。定阻尼比的線是從原點往外延伸的線,而固定自然頻率的線是圓心在原點的圓弧。在根軌跡圖上選擇有想要的阻尼比及自然頻率的點,可以計算增益K並且實現其控制器。在許多教材科書上有利用根軌跡圖設計控制器的精細技巧,例如超前-滞后补偿器、PI、PD及PID控制器都可以用此技巧來近似設計。

以上使用阻尼比自然頻率的定義,前提是假設整個回授系統可以用二階系統來近似,也就是說系統有一對主要的複數極點,不過多半的情形都不是如此,因此在實做時仍需要針對系統再進行模擬,確認符合需求。

定義[编辑]

回授系統的根軌跡圖是用繪圖的方式在複數s-平面上畫出在系統參數變化時,回授系統閉迴路極點的可能位置。這些點是根軌跡圖中滿足角度條件(angle condition)的點。根軌跡圖中特定點的參數數值可以用量值條件(magnitude condition)來計算。

假設有個回授系統,輸入信號、輸出信號。其順向路徑传递函数,回授路徑传递函数為

Simple feedback system.svg

此系統的閉迴路傳遞函數[1]

因此,閉迴路傳遞函數的極點為特徵方程式的根,方程式的根可以令來求得。

若是一個沒有純粹延遲的系統,的乘積為有理的多項式函數,可以表示為[2]

其中個零點,個極點,而為增益。一般而言,root locus diagram會標示在不同參數時,傳遞函數極點的位置。而root locus plot就會畫出針對任意值下,使的極點 ,但無法看出值變化時,極點移動的趨勢。

因為只有的係數以及簡單的單項,此有理多項式的值可以用向量的技巧來計算,也就是將量值相乘或是相除,角度相加或是相減。向量公式的由來是因為有理多項式的每一個因式就表示一個s-平面下由的向量,因此可以透過計算每一個向量的量值及角度來計算多項式。

根據矩陣數學,有理多項式的相角等於所有分子項的角度和,減去所有分母項的角度和。因此若要測試s-平面上的一點是否在根軌跡圖上,只要看開迴路的零點及極點即可,這稱為角度條件

有理多項式的量值也是所有分子項的量值乘積,再除以所有分母項量值的乘積。若只是要確認一個s-平面上的點是否在根軌跡圖上,不需要計算有理多項式的量值,因為值會變,而且可以是任意的整數。針對根軌跡圖上的每一點,都可以計算其對應的值,此即為量值條件

以前繪製根軌跡圖會使用名叫Spirule的特殊量角器,可以用來確認角度並且繪製根軌跡圖[3]

根軌跡圖只能提供在增益變化時,閉迴路極點的位置資訊。的數值不影響零點的位置,閉迴路零點和開迴路的零點相同。

角度條件[编辑]

複數s平面上的點若滿足下式,即符合角度條件(angle condition)

也就是說

開迴路零點到點角度的和,減去開迴路極點到點角度的和,需等於或180

量值條件[编辑]

在根軌跡圖上的特定點,數值若使下式成立,就符合量值條件(magnitude condition)

也就是說

.

繪製根軌跡圖[编辑]

RL=根軌跡圖,ZARL=zero angle root locus

利用一些基本的技巧,可以用根軌跡法繪製K值變化時,極點的軌跡。根軌跡圖可以看出回授系統在不同 下的穩定性以及動態特性[4][5]。其規則如下:

  • 標示開迴路的極點及零點
  • 將實軸上,在奇數個極點及零點左邊的線段標示下來(例如一個、三個極點及零點)。
  • 渐近线

P為極點的個數,Z為零點的個數,兩者相減即為渐近线的數量:

漸近線和實軸的交點在(稱為形心),往外延伸的角度為

其中為所有極點數值的和,為所有明確零點數值的和

  • 根據測試點的相位條件判斷其往外延伸的角度
  • 計算分離點(breakaway/break-in points)

根軌跡圖上的分離點(二條根軌跡圖上的軌跡相交的點)是滿足下式的根

只要解開z,實根即為分離點,若是虛數,表示沒有分離點

相關條目[编辑]

參考資料[编辑]

  1. ^ Kuo 1967, p. 331.
  2. ^ Kuo 1967, p. 332.
  3. ^ Evans, Walter R., Spirule Instructions, Whittier, CA: The Spirule Company, 1965 
  4. ^ Evans, W. R., Graphical Analysis of Control Systems, Trans. AIEE, January 1948, 67 (1): 547–551, ISSN 0096-3860, doi:10.1109/T-AIEE.1948.5059708 
  5. ^ Evans, W. R., Control Systems Synthesis by Root Locus Method, Trans. AIEE, January 1950, 69 (1): 66–69, ISSN 0096-3860, doi:10.1109/T-AIEE.1950.5060121 

延伸閱讀[编辑]

  • Ash, R. H.; Ash, G. H., Numerical Computation of Root Loci Using the Newton-Raphson Technique, IEEE Trans. Automatic Control, October 1968, 13 (5), doi:10.1109/TAC.1968.1098980 
  • Williamson, S. E., Design Data to assist the Plotting of Root Loci (Part I), Control Magazine, May 1968, 12 (119): 404–407 
  • Williamson, S. E., Design Data to assist the Plotting of Root Loci (Part II), Control Magazine, June 1968, 12 (120): 556–559 
  • Williamson, S. E., Design Data to assist the Plotting of Root Loci (Part III), Control Magazine, July 1968, 12 (121): 645–647 
  • Williamson, S. E., Computer Program to Obtain the Time Response of Sampled Data Systems, IEE Electronics Letters, May 15, 1969, 5 (10): 209–210, doi:10.1049/el:19690159 
  • Williamson, S. E., Accurate Root Locus Plotting Including the Effects of Pure Time Delay (PDF), Proc. IEE, July 1969, 116 (7): 1269–1271, doi:10.1049/piee.1969.0235 

外部連結[编辑]