格林公式

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提示:本条目的主题不是格林定律
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微积分学
\int_M \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial M} \omega
函数 · 导数 · 微分 · 积分

在物理學與數學中, 格林定理给出了沿封閉曲線 C線積分與以 C 為邊界的平面區域 D 上的雙重積分的联系。 格林定理是斯托克斯定理的二維特例,以英國數學家喬治·格林(George Green)命名。[1]

定理[编辑]

设闭区域 D 由分段光滑的简单曲线L 围成,函数P(x,y)及 Q(x,y)在 D 上具有一阶连续偏导数,则有[2][3]

\iint\limits_{D}(\frac{\partial Q}{\partial x} -\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=\oint_{L^{+}}(Pdx+Qdy)

其中L是D的取正向的边界曲线。


格林公式还可以用来计算平面图形的面积。

此公式叫做格林公式,它给出了沿着闭曲线C曲线积分C所包围的区域D上的二重积分之间的关系。另见格林恆等式

平面上曲线积分与路径无关的条件[编辑]

设G为平面单连通域,函数P(x,y),Q(x,y)在G内有一阶连续偏导数,则曲线积

D 为一个简单区域时的证明[编辑]

以下是特殊情况下定理的一个证明,其中D是一种I型的区域,C2C4是竖直的直线。对于II型的区域D,其中C1C3是水平的直线。

如果我们可以证明

\int_{C} L\, dx = \iint_{D} \left(- \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA\qquad\mathrm{(1)}

以及

\int_{C} M\, dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x}\right)\, dA\qquad\mathrm{(2)}

那么就证明了格林公式是正确的。

把右图中I型的区域D定义为:

D = \{(x,y)|a\le x\le b, g_1(x) \le y \le g_2(x)\}

其中g1g2是区间[a, b]内的连续函数。计算(1)式中的二重积分:

 \iint_{D} \left(\frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA =\int_a^b\!\!\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \left[\frac{\partial L (x,y)}{\partial y}\, dy\, dx \right]
 = \int_a^b \Big\{L(x,g_2(x)) - L(x,g_1(x)) \Big\} \, dx\qquad\mathrm{(3)}

现在计算(1)式中的曲线积分。C可以写成四条曲线C1C2C3C4的并集。

对于C1,使用参数方程x = xy = g1(x),axb。那么:

\int_{C_1} L(x,y)\, dx = \int_a^b \Big\{L(x,g_1(x))\Big\}\, dx

对于C3,使用参数方程x = xy = g2(x),axb。那么:

 \int_{C_3} L(x,y)\, dx = -\int_{-C_3} L(x,y)\, dx = - \int_a^b [L(x,g_2(x))]\, dx

沿着C3的积分是负数,因为它是沿着反方向从ba。在C2C4上,x是常数,因此:

 \int_{C_4} L(x,y)\, dx = \int_{C_2} L(x,y)\, dx = 0

所以:

 \int_{C} L\, dx  = \int_{C_1} L(x,y)\, dx + \int_{C_2} L(x,y)\, dx + \int_{C_3} L(x,y)\, dx + \int_{C_4} L(x,y)\, dx
 = -\int_a^b [L(x,g_2(x))]\, dx + \int_a^b [L(x,g_1(x))]\, dx\qquad\mathrm{(4)}

(3)和(4)相加,便得到(1)。类似地,也可以得到(2)。

参见[编辑]

参考文献[编辑]

  1. ^ George Green, An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism (Nottingham, England: T. Wheelhouse, 1828). Green did not actually derive the form of "Green's theorem" which appears in this article; rather, he derived a form of the "divergence theorem", which appears on pages 10-12 of his Essay.
    In 1846, the form of "Green's theorem" which appears in this article was first published, without proof, in an article by Augustin Cauchy: A. Cauchy (1846) "Sur les intégrales qui s'étendent à tous les points d'une courbe fermée" (On integrals that extend over all of the points of a closed curve), Comptes rendus, 23: 251-255. (The equation appears at the bottom of page 254, where (S) denotes the line integral of a function k along the curve s that encloses the area S.)
    A proof of the theorem was finally provided in 1851 by Bernhard Riemann in his inaugural dissertation: Bernhard Riemann (1851) Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse (Basis for a general theory of functions of a variable complex quantity), (Göttingen, (Germany): Adalbert Rente, 1867); see pages 8 - 9.
  2. ^ Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3
  3. ^ Vector Analysis (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipschutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7