格林恆等式

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格林恆等式Green's identities)乃是向量分析的一組共三條恆等式,以發現格林定理的英國數學家喬治·格林命名。

格林第一恆等式[编辑]

設定向量場;其中,在的某區域內,是二次連續可微標量函數,是一次連續可微標量函數,則從散度定理

可以推導出格林第一恆等式[1]

其中,是區域的邊界,是取於邊界面法向導數,即

格林第二恆等式[编辑]

假若在區域內,都是二次連續可微,則可交換,從的格林第一恆等式得到的格林第一恆等式。將這兩個恆等式相減,則可得到格林第二恆等式:

格林第三恆等式[编辑]

假設函數拉普拉斯方程式基本解fundamental solution):

其中,狄拉克δ函數

例如,在R3,基本解的形式為

函數稱為格林函數。對於變數的交換,格林函數具有對稱性,即

設定,在區域內,是二次連續可微。假若在積分區域內,則應用狄拉克δ函數的定義,

其中,分別積分

這是格林第三恆等式。假若調和函數,即拉普拉斯方程式的解:

則這恆等式簡化為

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ Strauss, Walter. Partial Differential Equations: An Introduction. Wiley.