格林-陶定理

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格林-陶定理英语:Green-Tao theorem)是本·格林英语Ben_Green_(mathematician)陶哲轩于2004年证明的一个关于质数组成的等差数列存在性定理[1]。质数序列包含任意长的等差数列,是格林-陶定理的著名推论。

定理内容[编辑]

对于任意的素数集合的子集,若相对于素数集合的上密度(英语:upper density)为正,即:

其中,代表不小于的素数的个数。

那么:

对于任意的正整数中的元素可以组成任意多个长度为的等差数列。[1]

推论[编辑]

格林-陶定理有以下两个直接的推论:

  • 对于任意正整数,质数序列中存在任意多长度为的等差子序列
  • 质数序列中包含有任意长的等差子序列

目前已知的最長質數等差數列[编辑]

质数序列中长度为的等差子序列,對於0≤n≤k−1,目前最好的結果是對於k=26,此等差數列為:

43,142,746,595,714,191 + 23,681,770 · 223,092,870 · n

相关定理与猜想[编辑]

  • 格林-陶定理是塞迈雷迪定理英语Szemerédi's theorem在素数集上的推广。
  • 格林-陶定理是埃尔德什等差数列猜想的一个特例。
  • 更強的猜想是對於任何正整數r,質數序列中都存在任意長度的r階階差數列 that is not r−1階階差數列(0階階差數列是常數數列,1階階差數列是等差數列,依此類推),格林-陶定理就是r=1的特例。對於2階階差數列,质数序列中长度为的二階階差子序列,對於0≤n≤k−1,目前最好的結果是對於k=45,此數列為36n^2-810n+2753(不管各項的大小順序,只要序列中沒有重複的質數就可以)。

参考文献[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 Green, Ben; Tao, Terence, The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions, Annals of Mathematics, 2008, 167 (2): 481–547, arXiv:math.NT/0404188, doi:10.4007/annals.2008.167.481 .

外部链接[编辑]