格羅莫夫雙曲空間

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數學上,設為一常數,則一個度量空間格羅莫夫(Gromov)δ-雙曲空間,簡稱δ-雙曲空間,如果中任意四點都符合不等式

其中對基點格羅莫夫積。若δ的實際數值不重要時,也可稱作格羅莫夫雙曲空間雙曲空間。以上是米哈伊爾·格羅莫夫的定義,因為不須用到測地線,故可以用於一般的度量空間。

一個測地度量空間是格羅莫夫雙曲的,當且僅當存在常數,使得每個測地三角形(三邊都是測地線段的三角形)都是δ-瘦,即是三角形每一邊上任何一點,距離另外兩邊其中一邊少於δ。

以上的δ-瘦條件由以利亞·里普斯(Eliyahu Rips)給出,此外又有數種等價條件[1]。格羅莫夫定義中的δ未必等於里普斯條件的δ,但如果一個測地度量空間符合格羅莫夫定義中的δ-雙曲性,則它符合里普斯4δ-瘦條件;反之若這空間符合里普斯δ-瘦條件,則符合格羅莫夫定義的8δ-雙曲性。[1]

例子[编辑]

  • 是0-雙曲空間,因為其上任何三角形都是退化的。
  • 有限直徑的度量空間都是雙曲空間。
  • 為測地度量空間,是一個擬等距映射,如果是雙曲空間,那麼也是雙曲空間。
  • 是負曲率緊緻黎曼流形,那麼其萬有覆疊空間是雙曲空間,而基本群賦予字度量後可以擬等距映射到施瓦茨-米爾諾引理),所以也是雙曲空間。因此是雙曲群

理想邊界[编辑]

X是一個格羅莫夫雙曲空間,X中一個序列。如果

時,

收斂於無窮。其中pX中某個定點,對基點p格羅莫夫積

對收斂於無窮的序列定義一個等價關係如下:,如果

時,

由這些等價類構成的集合稱為X理想邊界

注意上述條件都不依賴於基點p,因為格羅莫夫積對p是1-利普希茨連續的,即是若將p換作另一點q,則任兩點的格羅莫夫積以q為基點時的值,與以p為基點時的值,相差不超過pq的距離。

若序列在等價類內,那麼稱。這樣就在上定義了一個拓撲,使得X內是稠密的。

等價定義[编辑]

設格羅莫夫雙曲空間X測地常態的,其理想邊界有等價定義如下:

  1. 一個映射稱為擬射線,如果f是一個擬等距嵌入。對X中的擬射線定義等價關係:兩條擬射線等價,若二者的豪斯多夫距離是有限的。那麼由擬射線的等價類構成的集合是X的理想邊界。
  2. 選取X中任何一點w為基點。對所有從w點出發的測地射線,定義如上一項所述的等價關係。則由這些測地射線的等價類構成的集合是X的理想邊界。


參見[编辑]


參考[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 É. Ghys and P. de la Harpe (éd.), Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov. Progress in Mathematics, 83. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1990.