格蘭迪級數

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格蘭迪級數(Grandi's series),即1 − 1 + 1 − 1 + …,是在1703年由意大利數學家格蘭迪英语Luigi Guido Grandi發表的,後來荷蘭數學家丹尼爾·伯努利和瑞士數學家萊昂哈德·歐拉等人也都曾研究過它。格蘭迪級數寫作


\sum_{n=0}^{\infin} (-1)^n

它是一個發散級數,也因此在一般情況下,這個無窮級數是沒有和的。但若對该發散級數進行一些特別的求和處理時,就會有特定的“和”出現。格蘭迪級數的歐拉和英语Multiple zeta function切薩羅和均為\tfrac{1}{2}

簡介[编辑]

針對以下的格蘭迪級數

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + …

一種求和方式是求它的裂項和

(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0.

但若調整括弧的位置,會得到不同的結果:

1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1.

用不同的方式為格蘭迪級數加上括弧進行求和,其級數和可以得到0或是1的值。

格蘭迪級數為发散几何级数,若將收斂幾何級數求和的方式用在格蘭迪級數,可以得到第三個數值:

S = 1 − 1 + 1 − 1 + …,因此
1 − S = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + …) = 1 − 1 + 1 − 1 + … = S,即
2S = 1,

可得到S = 1/2[1]

依照上述的計算,可以得到以下的二種結論:

  • 格蘭迪級數 1 − 1 + 1 − 1 + … 的和不存在[1][2]
  • 格蘭迪級數的和為1/2[2]

上述二個答案都可以精確的證明,但需要用19世紀提出的一些良好定義的數學概念。從17世紀歐洲開始使用微積分起,一直到現在嚴謹的數學成型之前,上述二個答案已造成數學家們尖銳及無止盡的爭論[3][4]

求和性[编辑]

穩定性及線性[编辑]

對於格蘭迪級數1 − 1 + 1 − 1 + · · ·,看似可以用以下的方式處理,得到數值12

  • 兩兩的相加或相減。
  • 每一項乘以一個係數。
  • 調整括弧順序。
  • 在級數前面增加新的項。

不過因為上述的處理方式只能適用在收斂的級數,而1 − 1 + 1 − 1 + · · ·不是收斂級數,因此上述處理都不適用。

不過有許多的求和方式可以處理發散級數,並且可以對一些發散級數求和,其中最簡單的方法是切薩羅求和[5]

切薩羅和[编辑]

恩纳斯托·切萨罗在1890年第一個出版有關對發散級數求和的嚴謹方法,就是切薩羅和。基本概念類似萊布尼茲的機率法,一個級數的切薩羅和是其所有分項和的平均。也就是針對每個n,計算前n項的和σn的平均,當n趨近無限大時的極限值即為切薩羅和。

以格蘭迪級數而言,而數列 {(s1 + ... + sn)/n} 的各項分別為

\frac{1}{1}, \,\frac{1}{2}, \,\frac{2}{3}, \,\frac{2}{4}, \,\frac{3}{5}, \,\frac{3}{6}, \,\frac{4}{7}, \,\frac{4}{8}, \,\ldots,

\lim_{n\to\infty} \frac{s_1 + \cdots + s_n}{n} = 1/2.

因此,格蘭迪級數的切薩羅和為 1/2。

也可以用廣義的切薩羅和(C, a)來計算[6]

發散性[编辑]

這個級數的部分和如下:

S1 = 1
S2 = 1 − 1 = 0
S3 = 1 − 1 + 1 = 1
S4 = 1 − 1 + 1 − 1 = 0…

由此得出另一個無窮序列S_1, S_2, S_3, S_4, ... = 1, 0, 1, 0, ...

根據無窮級數的定義,


\sum_{n=0}^{\infin} (-1)^n =
\lim_{n\to\infty}S_n

但是S_n的無窮序列無法收斂到某個固定的值(不斷在0和1之間來回變動),

所以\lim_{n\to\infty}S_n發散,

因此\sum_{n=0}^{\infin} (-1)^n這個級數也發散。

格蘭迪級數的應用[编辑]

幂級數[编辑]

以下的幂級數和格蘭迪級數有關,也是其母函数

f(x) = 1-x+x^2-x^3+\cdots = \frac{1}{1+x}.

狄拉克梳[编辑]

格蘭迪級數在另一個重要的級數中出現:

\cos x + \cos 2x + \cos 3x + \cdots = \sum_{k=1}^\infty\cos(kx).

x = π,其上述級數化簡為−1 + 1 − 1 + 1 − · · ,歐拉認為其值符合以下的關係式Σ cos kx = −12,不過達朗貝爾不同意此關係式,而拉格朗日認為這可以用類似歐拉對格蘭迪級數的理解來延伸說明[7]

歐拉的聲明推測

1 +2\sum_{k=1}^\infty\cos(kx) = 0?

針對所有的x,此級數都發散,不過對於幾乎所有x切萨罗和均為0。不過在x = 2πn時,其級數發散,而且是狄拉克梳英语Dirac comb傅立葉級數。其一般和、切萨罗和及阿貝爾和分別和狄利克雷核费耶核泊松核英语Poisson kernel的極限有關[8]

狄利克雷级数[编辑]

將格蘭迪級數各項乘以1/nz可以得到以下的狄利克雷级数

\eta(z)=1-\frac{1}{2^z}+\frac{1}{3^z}-\frac{1}{4^z}+\cdots=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n^z},

上述級數只有在實部大於0的複數z才會收斂,若令z = 0,即為格蘭迪級數。

不同於幾何級數,狄利克雷级数對於1 − 1 + 1 − 1 + · · · 的求和沒有什麽幫助。即使在右半平面上,上述的\eta(z)也無法用初等函數來表示,也沒有直接證據可以證明當z趨近0時,\eta(z)的極值。

另一方面,若使用其他較強的求和法,則上述的\eta(z)可定義一個在整個複數平面的函數-狄利克雷η函数,而且此函數為解析函数。若z的實部> −1,就可以用切薩羅和進行求和,因此η(0) = 12

狄利克雷η函数和另一個著名的狄利克雷级数及函數有關:

\begin{array}{rcl}
\eta(z) & = &\displaystyle 1+\frac{1}{2^z}+\frac{1}{3^z}+\frac{1}{4^z}+\cdots - \frac{2}{2^z}\left(1+\frac{1}{2^z}+\cdots\right) \\[1em]
  & = & \displaystyle \left(1-\frac{2}{2^z}\right)\zeta(z),
\end{array}

其中ζ為黎曼ζ函數。若將格蘭迪級數的和再配合上述公式,可以得到ζ(0) = −12。參照1 + 1 + 1 + 1 + …

上述的關係式也可以推得一些更重要的性質。由於黎曼ζ函數可表示為η(z)和(1 − 21−z)相除的結果,二個函數在整個複數平面均為解析函数,而後者的零点是在z = 1的簡單零點,因此可得ζ(z)為亚纯函数,只在z = 1有一個極點[9]

物理學[编辑]

格蘭迪級數及其衍生的級數常在物理學的各領域中出現,最典型的是量子化的费米子場,其中同時有正的及負的特徵值,例如手征口袋模型(chiral bag model)。不過這些級數也出現在玻色子的相關研究中,例如卡西米爾效應

光谱非对称性英语spectral asymmetry領域也會用到由格蘭迪級數衍生的級數,而其求和方式是正規化的一部份,例如ζ函數正規化英语zeta function regulator就是其中的一種。

相關條目[编辑]

參考資料[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 Devlin, Keith. Mathematics, the science of patterns: the search for order in life, mind, and the universe. Scientific American Library. 1994: 77. ISBN 0-7167-6022-3. 
  2. ^ 2.0 2.1 Davis, Harry F. Fourier Series and Orthogonal Functions. Dover. 1989.May: p.152. ISBN 0-486-65973-9. 
  3. ^ Kline, Morris. Euler and Infinite Series. Mathematics Magazine. 1983.November, 56 (5): 307. doi:10.2307/2690371. JSTOR 2690371. 
  4. ^ Knopp, Konrad. Theory and Application of Infinite Series. Dover. 1990: p.457 [1922]. ISBN 0-486-66165-2. 
  5. ^ Davis pp.152, 153, 157
  6. ^ Smail, Lloyd. History and Synopsis of the Theory of Summable Infinite Processes. University of Oregon Press. 1925: p.131. LCC QA295 .S64. 
  7. ^ Ferraro, Giovanni. Convergence and formal manipulation in the theory of series from 1730 to 1815. Historia Mathematica. 2005, 34: 62. doi:10.1016/j.hm.2005.08.004. 
  8. ^ Davis pp. 153–159
  9. ^ Knopp pp. 491–492