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梯度下降法

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梯度下降法英语:Gradient descent)是一个一阶最优化算法,通常也称为最速下降法。 要使用梯度下降法找到一个函数的局部极小值,必须向函数上当前点对应梯度(或者是近似梯度)的反方向的规定步长距离点进行迭代搜索。如果相反地向梯度正方向迭代进行搜索,则会接近函数的局部极大值点;这个过程则被称为梯度上升法

描述[编辑]

梯度下降法的描述。

梯度下降方法基于以下的观察:如果实值函数在点可微且有定义,那么函数点沿着梯度相反的方向 下降最快。

因而,如果

对于為一個够小数值時成立,那么

考虑到这一点,我们可以从函数的局部极小值的初始估计出发,并考虑如下序列 使得

因此可得到

如果顺利的话序列收敛到期望的极值。注意每次迭代步长可以改变。

右侧的图片示例了这一过程,这里假设定义在平面上,并且函数图像是一个形。蓝色的曲线是等高线水平集),即函数为常数的集合构成的曲线。红色的箭头指向该点梯度的反方向。(一点处的梯度方向与通过该点的等高线垂直)。沿着梯度下降方向,将最终到达碗底,即函数值最小的点。

例子[编辑]

梯度下降法处理一些复杂的非线性函数会出现问题,例如Rosenbrock函數

其最小值在处,数值为。但是此函数具有狭窄弯曲的山谷,最小值就在这些山谷之中,并且谷底很平。优化过程是之字形的向极小值点靠近,速度非常缓慢。

Banana-SteepDesc.gif

下面这个例子也鲜明的示例了"之字"的上升(非下降),这个例子用梯度上升(非梯度下降)法求极大值(非极小值,实际是局部极大值)。

The gradient descent algorithm in action.(1: contour)The gradient descent algorithm in action.(2: surface)

缺点[编辑]

梯度下降法的缺點包括:[1]

  • 靠近極小值时速度减慢。
  • 直線搜索可能會產生一些問題。
  • 可能會“之字型”地下降。

上述例子也已体现出了这些缺点。

参阅[编辑]

参考文献[编辑]

  1. ^ David W. A. Bourne. Steepest Descent Method (英文). 
  • Mordecai Avriel (2003). Nonlinear Programming: Analysis and Methods. Dover Publishing. ISBN 0-486-43227-0.
  • Jan A. Snyman (2005). Practical Mathematical Optimization: An Introduction to Basic Optimization Theory and Classical and New Gradient-Based Algorithms. Springer Publishing. ISBN 0-387-24348-8

外部链接[编辑]