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棣莫弗公式

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复平面上的立方根等於1.

棣莫弗公式是一個關於複數三角函數的公式,命名自法國數學家亞伯拉罕·棣美弗Abraham de Moivre,1667年-1754年)。其內容為對任意複數x整數n,下列性質成立:

其中i虛數單位i2 = −1)。值得注意的是,儘管本公式以棣美弗本人命名,他從未直接地將其發表過[1]。為了方便起見,我們常常將cos(x) + i sin(x)合併為另一個三角函數cis(x),也就是說:

在操作上,我們常常限制x屬於實數,這樣一來就可藉由比較虛部與實部的方式把,把cos(nx)sin(nx)變化為cos(x)sin(x)的形式。另外,儘管棣美弗公式限制n須為整數,但倘若吾人適當推廣本公式,便可將n拓展到非整數的領域。

證明[编辑]

欧拉公式[编辑]

最简单的方法是应用欧拉公式[2]

數學歸納法[编辑]

正整数情形[编辑]

证明的思路是用数学归纳法证明正整数的情形。

當n=1

左式 右式

因此 P(1)成立。

假設成立,即

因此,也成立。

根據數學歸納法,成立。

負整数情形[编辑]

只需运用恒等式:

即可證明。

用棣莫弗公式求根[编辑]

此定理可用來求單位複數的 次方根。設 ,表為

,則 也可以表成:

按照棣莫弗公式:

於是得到

(其中

也就是:

,我們得到 個不同的根:

參考文獻[编辑]

  1. ^ Lial, Margaret L.; Hornsby, John; Schneider, David I.; Callie J., Daniels. College Algebra and Trigonometry 4th. Boston: Pearson/Addison Wesley. 2008: 792. ISBN 9780321497444. 
  2. ^ 林琦焜. 棣美弗定理與 Euler 公式 (PDF). 中央研究院. 2006-12-22 [2017-06-18].