棣莫弗公式

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复平面上的立方根等於1.

棣莫弗公式是一個關於複數的公式。

歷史[编辑]

法國數學家棣莫弗(Abraham de Moivre,1667年-1754年)於1707年創立了棣莫弗公式,並於1730年發表。

公式[编辑]

當一個複數z以极坐标形式表達,即時,其次方為

其中屬於任何整數

証明[编辑]

欧拉公式[编辑]

最简单的方法是应用欧拉公式

數學歸納法[编辑]

正整数情形[编辑]

证明的思路是用数学归纳法证明正整数的情形。

命題

當n=1

左式 右式

因此 P(1)成立。

假設成立,即

因此,也成立。

根據數學歸納法,成立。

負整数情形[编辑]

只需运用恒等式:

即可證明。

用棣莫弗公式求根[编辑]

此定理可用來求單位複數的 次方根。設 ,表為

,則 也可以表成:

按照棣莫弗公式:

於是得到

(其中

也就是:

,我們得到 個不同的根: