棱台

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棱台
Pentagonal frustum.svgUsech kvadrat piramid.png[[Image:|240px|棱台]]
如:五棱台与方棱台
類別 棱台
n+2
3n
頂點 2n
歐拉特徵數 F=n+2, E=3n, V=2n (χ=2)
面的種類 n梯形, 2 个n'边形
對稱群 Cnv, [1,n], (*nn)
對偶 双锥
特性 凸多面体

棱台几何学中研究的一类多面体,指一个棱锥平行于它的底面的一个平面所截後,截面与底面之间的几何形体。截面也称为棱台的上底面,原来棱锥的底面称为下底面。随着棱锥形状不同,棱台的称呼也不相同,依底面多边形而定,例如底面是正方形的棱台称为方棱台,底面为三角形的棱台称为三棱台,底面为五边形的棱台称为五棱台等等。棱台是平截头体的一类,也是更广义的拟柱体的一种。

从棱锥的定义可以推知,一个以n边形为底面的棱台,一共有2n顶点n+2个面以及3n条边。棱锥的对偶多面体双锥。棱锥的对称性取决于原来棱锥。如果原来的棱锥是正棱锥,那么棱台和正多边形有相同的对称结构(同构对称群)。

性质[编辑]

体积[编辑]

棱台的体积取决于两底面之间的距离(棱台的高),以及原来棱锥的体积。设為棱台的高,為棱台的上下底面積, 為棱台的体积。由于棱台是由一个平面截去棱锥的一部分(也就是和原来棱锥相似的一个小棱锥)得到,所以计算体积的时候,可以先算出原来棱锥的体积,再减去和它相似的小棱锥的体积。棱锥被平行于底面的平面所截时,截面的面积与底面面积的比,等于小棱锥和原棱锥的高的比的平方。假设原棱锥的高是,那么小棱锥的高是。也就是说:

所以:

棱台的体积等于原棱锥体积减去小棱锥的体积:

对于正棱锥,假设它的底面是正n边形,边长分别为ab,高是h,那么底面积是: 所以它的体积是:

表面积[编辑]

棱台的侧面展开图是由各个梯形侧面组成的,展开图的面积,就是各个侧面的面积之和,也就是原棱锥的侧面积减去小棱锥的侧面积Sc

,其中是第 i 个侧面的面积。

棱台的表面积等于棱台的侧面积Sc加上底面积S。假设各个梯形侧面的高是hi,底边的长度是aibi,那么棱锥的侧面积:

参看[编辑]

  • 金字塔:某些金字塔是棱台状建筑,大部分是四棱台;
  • 圓台:平行于圆锥底面的平面截圆锥,截面和底面之间的部分;
  • 棱锥:多边形的各个顶点与平面外一点相连得到的几何体
  • 平截头体:平行于锥体底面的平面截去锥体顶部后得到的几何体,分为棱台和圆台。