椭圆算子

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椭圆算子数学偏微分方程理论中的一类微分算子,它是拉普拉斯算子的泛化。椭圆算子定义为所有最高阶导数的系数为正的微分算子,这意味着算子没有实的特征方向。椭圆算子在静电学连续介质力学中经常出现,椭圆算子的正则性意味着它的解通常是光滑函数(如果算子的系数是光滑的)。双曲方程和抛物方程的稳定解通常要求解椭圆方程。

定义[编辑]

\mathbb{R}^n\Omega上的线性微分算子L

Lu = \sum_{|\alpha|\leq m} a_{\alpha} {\partial}^{\alpha} u

被称为椭圆算子,如果对任意x\in \Omega,任意非零\xi \in \mathbb{R}^n 满足

\sum_{|\alpha| = m} a_{\alpha} {\xi}^{\alpha} \neq 0.

在许多应用中仅满足上述条件还远远不够,当m = 2k时可用一致椭圆条件代替它: (-1)^k \sum_{|\alpha|= 2k} a_{\alpha} (x) \xi^{\alpha} > C|\xi|^{2k}, 其中 C 是正常数。注意到椭圆性只依赖于最高阶项。

非线性算子

L(u) = F(x, u, (\partial^{\alpha} u))_{|\alpha|\leq 2k}

是椭圆算子如果它关于u的一阶泰勒展开式在任意一点处都是线性椭圆算子。

实例: 二阶算子[编辑]

为了说明问题,我们选取二阶偏微分算子形式,

 P\phi = \sum_{k,j} a_{k j}  D_k D_j \phi  + \sum_\ell b_\ell D_{\ell}\phi  +c \phi

其中  D_k = \frac{1}{\sqrt{-1}} \partial_{x_k} . 如果满足高阶项系数矩阵 x

 \begin{bmatrix} a_{1 1}(x) & a_{1 2}(x) & \cdots & a_{1 n}(x) \\ a_{2 1}(x) & a_{2 2}(x) & \cdots & a_{2 n}(x) \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1}(x) & a_{n 2}(x) & \cdots & a_{n n}(x)  \end{bmatrix}

正定实系数对称矩阵,则这样的算子叫做椭圆算子。