概率母函数

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概率论里,一个离散随机变量概率母函数是指该随机变量的概率质量函数幂级数表达式。

定义[编辑]

单变量情形[编辑]

如果 X 是在非负整数域{0,1, ...}上取值的离散随机变量,那么X概率母函数定义为 [1]

G(z) = \operatorname{E} (z^X) = \sum_{x=0}^{\infty}p(x)z^x,

其中pX的概率质量函数。

多变量情形[编辑]

如果 X = (X1,...,Xd ) 是在d-非负整数格{0,1, ...}d上取值的离散随机变量, 那么X概率母函数定义为

G(z) = G(z_1,\ldots,z_d)=\operatorname{E}\bigl (z_1^{X_1}\cdots z_d^{X_d}\bigr) = \sum_{x_1,\ldots,x_d=0}^{\infty}p(x_1,\ldots,x_d)z_1^{x_1}\cdots z_d^{x_d},

其中 pX的概率质量函数。

注释[编辑]

参考文献[编辑]

  • Johnson, N.L.; Kotz, S.; Kemp, A.W. (1993) Univariate Discrete distributions (2nd edition). Wiley. ISBN 0-471-54897-9 (Section 1.B9)