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在數學的抽象代數中,上的 (module over a ring)的概念是對向量空間概念的推廣,這裡不再要求向量空間裡的純量的代數結構是(field),進而放寬純量可以是環(ring)。

因此,模同向量空間一樣是加法交换群;在環元素和模元素之間定義了乘積運算,并且環元素和模元素的乘積是符合結合律的(在同環中的乘法一起用的時候)和分配律的。

模非常密切的關聯於表示理論。它們還是交換代數同調代數的中心概念,并廣泛的用于代數幾何代數拓撲中。

定義[编辑]

假設R(ring)且1RR,1R 是其乘法運算的單位元素,則R-模包括一個交換群(M, +),以及一個映射(或運算)⋅ : R × MM (叫做標量乘法或數積,通常把此運算的值 (r,x) 記作 rx 或是 rxrRxM ) ,並且滿足以下條件

對所有r,sR, x,yM,

有數學家的左模定義並不要求環有單位乘法元素1R,所以他們的定義只含以上前三個條件而排除了第四個條件,並把以上的定義稱為"帶單位元(1R )的左模"。

一個左R-模M 記作RM,類似的右R-模M 記作MR

一個R-模MMR與左R-模的定義相似,只是環的元素在右邊,即其數積是⋅ : M × RM。在左R-模的定義中,環的元素rs 是在M 的元素x 的左邊。若R可交換的,則左R-模與右R-模是一樣的,簡稱為R-模。

R 是一個R-模稱為向量空間。模是向量空間的推廣,有很多與向量間相同的性質,但通常沒基底

例子[编辑]

  • 所有 可置換群 M是一個在整數Z的模,其數積是nx = x + x + ... + xn個相加)對於n > 0, 0x = 0,以及(-n)x = -(nx)對於n < 0。
  • R是一個環而n是一個自然數,則 Rn 是一個R-模。
  • M是一個光滑流形,則由M實數的光滑函数是一個環R。在M上的所有向量場組成一個R-模。
  • 所有 n×n 實數矩陣 組成一個環R歐幾里得空間Rn 是一個左R-模,當中數積就是矩陣乘法。
  • R是一個環而I是其中一個 左理想 ,則I是一個左R-模。

子模及同態[编辑]

假設M是左R-模兼NM子集。如果對於所有nNrR,乘積rnN(若是右模,nr),則NRM子模(或更準確地,R-子集)。

MN是左R-模,若映射 f : M -> N有對所有m, nMr, sRf(rm + sn) = rf(m) + sf(n),則稱映射 fR-模同態。像其他同態,模同態保存了模的結構。

其他定義及表達法[编辑]

M是左R-模,則一個R中元素r作用定義為映射MM,它將每個x映至rx(或者在右模的情況是xr),這必然是阿貝爾群(M,+)的群自同態。全體M的自同態記作EndZ(M),它在加法與合成下構成一環,而將R的元素r映至其作用則給出從R至EndZ(M)之同態。

如此的環同態R → EndZ(M)稱作R在阿貝爾群M上的一個表示。左R-模的另一種等價定義是:一個阿貝爾群M配上一個R的表示。

一個表示稱作忠實的,若且唯若R → EndZ(M)是單射。以模論術語來說,這意謂若rR的元素,且使得對所有M中的x都有rx=0,則r=0。任意阿貝爾群皆可表成整數環Z或其某一商環Z/nZ的忠實表示。