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抽象代數中,在上的的概念是對向量空間概念的推廣,這里不再要求純量位于中,轉而純量可以位于任意環中。

因此,模同向量空間一樣是加法阿貝爾群;定義了在環元素和模元素之間乘積,并且這個乘積是符合結合律的(在同環中的乘法一起用的時候)和分配律的。

模非常密切的關聯於表示理論。它們還是交換代數同調代數的中心概念,并廣泛的用于代數幾何代數拓撲中。

定義[编辑]

R,+,·)上的一個R-模包括一個阿貝爾群M, +),以及一個算子R × M -> M (叫做標量乘法或數積,通常記作rxrRxM)有

對所有r,sR, x,yM,

  1. (rs)x = r(sx)
  2. (r+s)x = rx+sx
  3. r(x+y) = rx+ry
  4. 1x = x

一個左R-模M不時記作RM

有數學家摒除第4個條件於一般左模定義之外,並把以上的結構稱為"帶單位元的左模"。

一個R-模MMR定義相似,只是環的元素在右邊,即是數積是M × R -> M 而定義內rs是在xy的右邊。若R可交換的,則左R-模與右R-模是一樣的,簡稱為R-模。

R是一個R-模稱為向量空間。模是向量空間的推廣,有很多與向量間相同的性質,但通常沒基底

例子[编辑]

  • 所有可置換群M是一個在整數Z的模,其數積是nx = x + x + ... + x (n個相加)對於n > 0, 0x = 0,以及(-nx = -(nx)對於n < 0。
  • R是一個環而n是一個自然數,則Rn是一個R-模。
  • M是一個光滑流形,則由M實數的光滑函数是一個環R。在M上的所有向量場組成一個R-模。
  • 所有n × n 實數矩陣組成一個環R歐幾里得空間Rn是一個左R-模,當中數積就是矩陣乘法。
  • R是一個環而I是其中一個左理想,則I是一個左R-模。

子模及同態[编辑]

假設M是左R-模兼NM子集NRM子模(或更準確地,R-子集)如果對於所nNrR,乘積rnN(若是右模,nr)。

MN是左R-模,映射 f : M -> N稱為R-模同態若然,對所有m, nMr, sRf(rm + sn) = rf(m) + sf(n)。像其他同態,模同態保存了模的結構。

其他定義及表達法[编辑]

M是左R-模,則一個R中元素r作用定義為映射MM,它將每個x映至rx(或者在右模的情況是xr),這必然是阿貝爾群 (M,+)的群自同態。全體M的自同態記作EndZM),它在加法與合成下構成一環,而將R的元素r映至其作用則給出從R至EndZ(M)之同態。

如此的環同態R → EndZ(M)稱作R在阿貝爾群M上的一個表示。左R-模的另一種等價定義是:一個阿貝爾群M配上一個R的表示。

一個表示稱作忠實的,若且唯若R → EndZ(M)是單射。以模論術語來說,這意謂若rR的元素,且使得對所有M中的x都有rx=0,則r=0。任意阿貝爾群皆可表成整數環Z或其某一商環Z/nZ的忠實表示。