模反元素也称为模倒数,或者模逆元。
一整数a對同餘n之模反元素是指滿足以下公式的整數 b

也可以寫成以下的式子

或者

整数 a 對模数 n 之模反元素存在的充分必要條件是 a 和 n 互質,若此模反元素存在,在模数 n 下的除法可以用和對應模反元素的乘法來達成,此概念和實數除法的概念相同。
求模反元素[编辑]
设exgcd(a,n)為扩展欧几里得算法的函数,則可得到ax+ny=g,g是a,n的最大公因数。
若
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则该模反元素存在,根據結果
在 mod n 之下,
,根據模反元素的定義
,此時x即為a关于模n的其中一個模反元素。
事實上,
都是a关于模n的模反元素,這裡我們取最小的正整數解x mod n(x<n)。
若
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则该模反元素不存在。
因為根據結果
,在 mod n 之下,
不會同餘於
,因此滿足
的
不存在。
歐拉定理證明當
為兩個互質的正整數時,則有
,其中
為歐拉函數(小於
且與
互質的正整數個數)。
上述結果可分解為
,其中
即為
關於模
之模反元素。
求整数3对同余11的模逆元素x,

上述方程可变换为

在整数范围
内,可以找到满足该同余等式的x值为4,如下式所示

并且,在整数范围
内不存在其他满足此同余等式的值。
故,整数3对同余11的模逆元素为4。
一旦在整数范围
内找到3的模逆元素,其他在整数范围
内满足此同余等式的模逆元素值便可很容易地写出——只需加上m = 11 的倍数便可。
综上,所有整数3对同余11的模逆元素x可表示为

即 {..., −18, −7, 4, 15, 26, ...}.