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模反元素

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整数a對同餘n之模反元素是指滿足以下公式的整數 b

也可以寫成以下的式子

整数 a 對模数 n 之模反元素存在的充分必要條件是 a 和 n 互質,若此模反元素存在,在模数 n 下的除法可以用和對應模反元素的乘法來達成,此概念和實數除法的概念相同。

求模反元素[编辑]

扩展欧几里得算法[编辑]

设exgcd(a,n)為扩展欧几里得算法的函数,則可得到ax+ny=g,g是a,n的最大公因数

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则该模反元素存在,根據結果

在 mod n 之下,,根據模反元素的定義,此時x即為a关于模n的其中一個模反元素。

事實上, 都是a关于模n的模反元素,這裡我們取最小的正整數解x mod n(x<n)。

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则该模反元素不存在

因為根據結果,在 mod n 之下,不會同餘於,因此滿足不存在。


歐拉定理[编辑]

歐拉定理證明當為兩個互質正整數時,則有,其中歐拉函數(小於等於且與互質的正整數個數)。

上述結果可分解為,其中的即為關於模之模反元素。

举例[编辑]

求整数3对同余11的模逆元素x,

上述方程可变换为

在整数范围内,可以找到满足该同余等式的x值为4,如下式所示

并且,在整数范围内不存在其他满足此同余等式的值。

故,整数3对同余11的模逆元素为4。

一旦在整数范围内找到3的模逆元素,其他在整数范围 内满足此同余等式的模逆元素值便可很容易地写出——只需加上m = 11 的倍数便可。

综上,所有整数3对同余11的模逆元素x可表示为

既{..., −18, −7, 4, 15, 26, ...}.