模糊集

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模糊集模糊数学上的一个基本概念,是数学上普通集合的扩展。

定义[编辑]

给定一个论域 ,那么从到单位区间的一个映射 称为上的一个模糊集,或的一个模糊子集[1]

表示[编辑]

模糊集可以记为。映射(函数)或简记为叫做模糊集隶属函数。 对于每个叫做元素对模糊集隶属度

模糊集的常用表示法有下述几种:

  1. 解析法,也即给出隶属函数的具体表达式。
  2. Zadeh记法,例如。分母是论域中的元素,分子是该元素对应的隶属度。有时候,若隶属度为0,该项可以忽略不写。
  3. 序偶法,例如,序偶对的前者是论域中的元素,后者是该元素对应的隶属度。
  4. 向量法,在有限论域的场合,给论域中元素规定一个表达的顺序,那么可以将上述序偶法简写为隶属度的向量式,如

和传统集合的关系[编辑]

和傳統的集合一樣,模糊集也有它的元素,但可以談論每個元素屬於該模糊集的程度,其從低至高一般用 0 到 1 之間的數來表示。模糊集理論是由盧菲特·澤德(1965)所引進的,是經典集合論的一種推廣[2]。在經典的集合論中,所謂的二分條件規定每個元素只能屬於不屬於某個集合(因此模糊集不是集合);可以說,每個元素對每個集合的歸屬性(membership)都只能是 0 或 1。而每模糊集則擁有一個歸屬函數(membership function),其值允許取閉區間單位區間)中的任何實數,用來表示元素對該集的歸屬程度。比如設某模糊集的歸屬函數為 ,而為三個元素;如果,則可以說 「完全屬於」,「完全不屬於」,「的歸屬度為」(注意没有說「有一半屬於」,因為尚未規定的歸屬度具有甚麼特殊含義)。作為特例,當歸屬函數的值只能取 0 或 1 時,就得到了傳統集合論常用的指示函数(indicator function)[3]。傳統集合在模糊集理論中通常稱作「明確集」(crisp set)。

截集与截积[编辑]

,任取 ,则


截集,而称为阈值或置信水平。将上式中的替换为,记为,称为强截集

截集和强截集都是经典集合。此外,显然,即;如果,则称为正规模糊集,否则称为非正规模糊集。

截积是数与模糊集的积:
,则截积(或称为截集的数乘,记为)定义为:

根据定义,截积仍是上的模糊集合。

分解定理与表现定理[编辑]

分解定理
,则


即任一模糊集都可以表达为一族简单模糊集的并。也即,一个模糊集可以由其自身分解出的集合套而“拼成”。

表现定理
上的任何一个集合套,则


上的一个模糊集,且,有
(1)
(2)
即任一集合套都能拼成一个模糊集。

模糊度[编辑]

一个模糊集的模糊度衡量、反映了 A 的模糊程度,一个直观的定义是这样的:

设映射满足下述5条性质:

  1. 清晰性:当且仅当。(经典集的模糊度恒为0。)
  2. 模糊性:当且仅当。(隶属度都为0.5的模糊集最模糊。)
  3. 单调性:,若,或者,则
  4. 对称性:,有。(补集的模糊度相等。)
  5. 可加性:

则称是定义在上的模糊度函数,而为模糊集模糊度

可以证明符合上述定义的模糊度是存在的[4],一个常用的公式(分别针对有限和无限论域)就是

其中是参数,称为 Minkowski 模糊度。特别地,当的时候称为 Hamming 模糊度或 Kaufmann 模糊指标,当的时候称为 Euclid 模糊度。

模糊測度(Fuzzy measures)[编辑]

是輿集的一種。

函數定義,包含下列3項特性稱為模糊測度:

---函數代0值,表示沒有值為空值,用數學0來表示。函數代表示輿集全部帶進去了塞滿了,用1表示塞滿。

②若, 則.

---是屬於的一部分,裡面也可能跟一樣大,則

③If , ⊆…,then

---當屬於同時包含於,則將代入函數趨小所得的值等同於先趨小再代入函數所求得的值。

模糊量測(measures of fuzziness)[编辑]

模糊集的运算[编辑]

各种算子[编辑]

  • Zadeh 算子,即为并,即为交

  • 代数算子(概率和、代数积)

  • 有界算子

  • Einstein 算子

  • Hamacher 算子,其中是参数,等于1时转化为代数算子,等于2时转化为 Einstein 算子

  • Yager 算子,其中是参数,等于1时转化为有界算子,趋于无穷时转化为 Zadeh 算子

  • 算子,其中是参数

  • Dobois-Prade 算子,其中是参数

算子的性质[编辑]

参见集合代数布尔代数

主要算子的性质对比表如下(.表示不满足,-表示未验证):

算子 结合律 交换律 分配律 互补律 同一律 幂等律 支配律 吸收律 双重否定律 德·摩根律
Zedah .
代数 . . . . -
有界 . . -

线性补偿是指: [5]

算子的并运算 幂等律 排中律 分配律 结合律 线性补偿
Zadeh . .
代数 . . . .
有界 . . .
Hamacher r = 0 . . . .
Yager . . . .
Hamacher . . . .
Dobois-Prade . . . .

模糊集之间的距离[编辑]

使用度量理论[编辑]

可以使用一般的度量理论来描述模糊集之间的距离。在这个意义上,我们需要在模糊幂集上建立一个度量,此外,我们还可能需要将此度量标准化,也即映射到区间上。例如可以这样来标准化 Minkowski 距离:

贴近度[编辑]

另一种是使用贴近度概念。在某种意义上,贴近度就是 1 - 距离(这里的距离是上述标准化意义上的距离)。而之所以应用这个变换,是考虑到“度”的概念的直觉反映——距离越近,贴近的程度显然越“高”,因此它恰为距离的反数。

除了距离外,还有一些与模糊集的特殊操作有关系的贴近度定义。

  • 最大最小贴近度
  • 算术平均最小贴近度
  • 几何平均最小贴近度
  • 指数贴近度

參見[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ 要注意,严格地说,模糊集或子集是映射所确定的序对集,但由于模糊子集完全由其隶属函数所确定,因而我们不区分映射和映射所确定的序对集,而总是直接把模糊子集定义为一个满足上述定义的映射。
  2. ^ L. A. Zadeh (1965) "Fuzzy sets" 互联网档案馆存檔,存档日期2007-11-27.. Information and Control 8 (3) 338–353.
  3. ^ D. Dubois and H. Prade (1988) Fuzzy Sets and Systems. Academic Press, New York.
  4. ^ 陈水利等,模糊集理论及其应用,科学出版社,2005年,第20页。
  5. ^ Etienne E. Kerre 等,模糊集理论与近似推理,武汉大学出版社,2004年,第103页。