機械利益

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機械利益(Mechanical advantage)指工具、機械設備英语mechanical device或機械系統將放大的比例。設備需在輸入的力及以位移之間取捨,最後得到輸出力的理想放大比例。此模型稱為「杠杆定律」。有些機械零件是為了轉換力以及位移,這種零件稱為机构[1] 。假設Fin是輸入的力,Fout是輸出的力,則機械利益MA為:


機械利益為正數,若大於一,表示輸出的力比輸入的力大,若小於一,表示輸出的力比輸入的力小,但輸出位移比輸出位移要大。

槓桿[编辑]

Lever mechanical advantage.png

槓桿以支點為中心而轉動,離支點越近的地方移動的越慢,離支點越遠的地方移動的越快。輸入槓桿及輸出槓桿的功率相等,而功率是力和速度的乘積,因此離支點越遠的地方,施的力就越小,離支點越近的地方,施的力就越大[1]

a和 and b是點AB距支點的距離,而FA是在A點的輸入力,FB是在B點的輸出力,A點和B點速度的比值為a/b,因此輸出力和輸入力的比值(機械利益)如下:

這就是槓桿原理,是阿基米德利用對幾何的理解所證明的[2]

靜力學分析中,利用速度來分析槓桿的力,也是虛功定理的應用。

速比[编辑]

理想機構輸入功率等於輸出功率,因此可以用系統輸入—輸出的速比(speed ratio)來計算機械利益。

若針對齒輪組,以ωA的角速度給TA的轉矩,其輸入功率為P=TAωA

因為輸入功率和輸出功率相等,輸出轉矩TB和輸出角速度ωB乘積會滿足以下關係

因此

速比的定義就是輸出角速度和輸入角速度的比值,因此針對理想機構的速比會等於機械利益,這應用在從机器人一直到连杆机构的所有机器

齒輪系[编辑]

由於齒輪的設計方式,齒輪的齒數會和其節圓的半徑成正比,因此二個相互嚙合的齒輪,可以由一個齒輪帶動另一個旋轉,不會滑動。一組齒輪的速比可以用其其節圓的半徑比來計算,也可以用二個齒輪齒數的比例(齒比)來計算。

動畫:左側的小齒輪以及右側的大齒輪
兩個嚙合的齒輪,可以傳遞轉動運動

二個齒輪在節圓上接觸點的速度v相等,因此可得

其中輸入齒輪A的半徑是rA,和半徑為rB的輸出齒輪嚙合 因此

其中NA是輸入齒輪的齒數,NB是輸出齒輪的齒數。

由輸入齒輪齒數NA,輸出齒輪齒數NB組成的嚙合齒輪,其機械利益為

因此若輸出齒輪GB比輸入齒輪GA要大,此齒輪系可以放大力矩,但會讓轉速變慢,若輸出齒輪GB比輸入齒輪GA要小,此齒輪系可以縮小力矩,會讓轉速變快。

鏈輪或皮帶輪[编辑]

不論是由鏈條連接兩個鏈輪的機構,或是由皮帶連接兩個皮帶輪的機構,其目的都是為了在傳動系統中改變其機械利益。

兩個鏈輪和鏈條接觸點的速度v會相等,兩個皮帶輪和皮帶接觸點的速度亦同:

其中鏈輪或皮帶輪A是輸入端,其半徑是rA,輸出鏈輪或皮帶輪B的半徑是rB

因此

其中NA是輸入鏈輪的齒數,NB是輸出鏈輪的齒數。若是齒形帶英语toothed belt的皮帶輪機構,也可以使用其齒數。若是只用摩擦力的皮帶輪,一定要使用輸入輪和輸出輪半徑的資訊。

若鏈輪機構(或齒形帶皮帶輪機構),輸入輪齒數為NA,輸出輪齒數為NB,其機械利益是:

針對只使用摩擦力的皮帶輪,其機械利益是:

鏈條和皮帶在傳輸功率時會有摩擦力、伸長及磨損的情形,因此輸出功率會小於輸入功率,實際系統的機械利益會小於理論值。鏈輪機構或皮帶輪機構大約損失5%的功率,是因為摩擦生熱、形變或磨損所產生的熱,此時的效率約為95%。

滑輪組[编辑]

滑輪組是繩子和許多滑輪組合,移動物品的機構。一般來說會有固定不移動的定滑輪,以及隨物品移動的動滑輪,繩子會繞在動滑輪和定滑輪上,以提供機械利益,在滑輪組的輸入端施力,再透過滑輪組將力放大,來移動物品[3]

為了計算滑輪組的機械利益,考慮最簡單的起重滑車,由一個定滑輪和一個動滑輪組成。繩子繞在定滑輪上,垂下的一端可以施力往下拉,垂下的另一端繞在乘載重物的動滑輪上,繞過動滑輪後固定在定滑輪的支架上。

滑輪組的機械利益等於支持移動重物的繩子數量,從左到右分別是2, 3, 4, 5和6

S是從定滑輪軸心到繩子末端的長度,這是A,是施力的位置。令R是定滑輪軸心到動滑輪軸心的位置,這是B,是放重物的位置。

繩子的總長L可以寫成

其中K是繩子繞過定滑輪及動滑輪需要的長度,此長度不隨滑輪位置而變化。

A點和B點的速度VAVB的關係和繩子的總長有關,繩子的總長為固定值,因此

或者

其中的負號表示重物速度的方向和施力的方向相反,施力往下,重物會向上移動。

VA向下為正,VB向上為正,因此其關係可以表示為速比

其中的2是支持動滑輪及重物重量的繩索數量。

FA是在A點的施力,令FB是動滑輪在B點的受力。其正負號也是FA往下為正,FB往上為正。

若是理想的滑輪組,滑輪沒有摩擦力,繩子也不會形變或磨損,因此輸入功率FAVA會等於輸出功率FBVB,也就是

輸出力和輸入力的比值即為理想起重滑車系統的機械利益

此分析可以擴展到理想的滑車組,其動滑輪及重物的重量是由n段繩子所支持

可以證明理想的滑車組對重物的輸出力是輸入力的n倍,其中n是支持動滑輪及重物重量的繩子數量。

效率[编辑]

在計算機械利益時,會假設能量不會因為形變、摩擦力或是磨損所損失,機械可以以其最佳性能輸出,此情形下計算的機械利益會稱為是理想機械利益(ideal mechanical advantage、IMA)。實際上,形變、摩擦力或是磨損都會降低機械利益。實際機械利益(actual mechanical advantage、AMA)和理想機械利益之間的比值是效率,可以透過實驗求得。

例如有六段繩子支持動滑車的滑車組,有300 kg的重物,若是在理想的滑車組,工人需要的施力會是50 kg,若要讓重物上移1公尺,工人需要拉6公尺。Fout / FinVin / Vout都可以說明理想機械利益是6。第一個比值是輸出力300 kg和輸入力50 kg所得的比值。但在真實系統中,輸入力50 kg,因此摩擦力、繩子形變等因素的損失,輸出力會小於300 kg,因此其實際機械利益會小於6。

理想機械利益[编辑]

理想機械利益(ideal mechanical advantage、IMA)或理論機械利益(theoretical mechanical advantage)是假設沒有能量損失的情形下所得的機械利益。是用設備的實際尺寸計算的,也是實際機械利益的上限。

理想機械的假設也就表示機械本身不會儲存能量,也不會耗散能量。輸入的功率等於輸出的功率。因此,機械的功率是定值,等於力乘以速度,可以得到下式

理想機械利益是輸出力和輸入力的比值

若考慮功率守恆的關係式,可得機械利益和速比之間的關係:

機械的速比可以用其幾何尺寸來計算,因此可以用速比求得理想機械利益,也就是實際機械利益的上限。

實際機械利益[编辑]

實際機械利益 (actual mechanical advantage、AMA)是在直接量測輸入力及輸出力所得的機械利益,其中有考慮因為形變、摩擦及磨損產生的能量損失。

機器的AMA可以用量測到的輸入力及輸出力來計算

實際機械利益和機械利益之間的比例即為机械效率η

相關條目[编辑]

參考資料[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 Uicker, John J.; Pennock, G. R.; Shigley, J. E. Theory of machines and mechanisms. New York: Oxford University Press. 2011. ISBN 978-0-19-537123-9. 
  2. ^ Usher, A. P. A History of Mechanical Inventions. Harvard University Press (reprinted by Dover Publications 1988). 1929: 94 [7 April 2013]. ISBN 978-0-486-14359-0. OCLC 514178. 
  3. ^ Ned Pelger, ConstructionKnowledge.net

外部連結[编辑]