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機率流

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量子力學裏,機率流,又稱為機率通量,是描述機率密度流動的物理量。假若將機率密度想像為非均勻流體。那麼,機率流就是這流體的流率(機率密度乘以速度)。

定義[编辑]

量子力學裏,從機率守恆可以得到「機率連續性方程式」。設定一個量子系統的波函數為 。定義機率流

其中,約化普朗克常數 是質量,共軛複數 是取括弧內項目的複值。

連續方程式與機率保守定律[编辑]

機率流滿足量子力學的連續方程式

其中, 是機率密度。

應用高斯公式,等價地以積分方程式表示,

(1)

其中, 是任意三維區域, 的邊界曲面。

這就是量子力學機率守恆定律的方程式。

方程式 (1) 左邊第一個體積積分項目(不包括對於時間的偏微分),即是測量粒子位置時,粒子在 內的機率。第二個曲面積分是機率流出 的通量。總之,方程式 (1) 表明,粒子在三維區域 內的機率對於時間的微分,加上機率流出三維區域 的通量,兩者的總和等於零。

連續方程式導引[编辑]

測量粒子在三維區域 內的機率

機率對於時間的導數是

(2)

假設 含時薛丁格方程式

其中,位勢

將含時薛丁格方程式代入方程式 (2) ,可以得到

應用一則向量恆等式,可以得到

這方程式右手邊第一個項目與第三個項目互相抵銷,將抵銷後的方程式代入,

將機率密度方程式與機率流定義式代入,

這相等式對於任意三維區域 都成立,所以,被積項目在任何位置都必須等於零:

範例[编辑]

平面波[编辑]

設定一個粒子的波函數 為三維空間的平面波

其中,振幅常數,波數 是位置,角頻率 是時間。

的機率流是

這只是振幅的平方乘以粒子的速度

請注意,雖然這平面波是定態,在每一個的地點, ,但是機率流仍舊不等於 。因此可以推論,雖然機率密度不顯性地跟時間有關,粒子仍可能移動於空間中。

盒中粒子[编辑]

一維盒子位勢,即一個無限深方形阱,阱內位勢為 0 ,阱外位勢為無限大。

思考一維盒中粒子問題,能級為 本徵波函數

其中, 是一維盒子的寬度,兩扇盒壁的位置分別在

由於 ,其機率流為

參閱[编辑]