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機率流

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量子力學裏,機率流,又稱為機率通量,是描述機率密度流動的物理量。假若將機率密度想像為非均勻流體。那麼,機率流就是這流體的流率(機率密度乘以速度)。

定義

量子力學裏,從機率守恆可以得到「機率連續性方程式」。設定一個量子系統的波函數為 。定義機率流

其中,約化普朗克常數 是質量,共軛複數 是取括弧內項目的複值。

連續方程式與機率保守定律

機率流滿足量子力學的連續方程式

其中, 是機率密度。

應用高斯公式,等價地以積分方程式表示,

(1)

其中, 是任意三維區域, 的邊界曲面。

這就是量子力學機率守恆定律的方程式。

方程式 (1) 左邊第一個體積積分項目(不包括對於時間的偏微分),即是測量粒子位置時,粒子在 內的機率。第二個曲面積分是機率流出 的通量。總之,方程式 (1) 表明,粒子在三維區域 內的機率對於時間的微分,加上機率流出三維區域 的通量,兩者的總和等於零。

連續方程式導引

測量粒子在三維區域 內的機率

機率對於時間的導數是

(2)

假設 含時薛丁格方程式

其中,位勢

將含時薛丁格方程式代入方程式 (2) ,可以得到

應用一則向量恆等式,可以得到

這方程式右手邊第一個項目與第三個項目互相抵銷,將抵銷後的方程式代入,

將機率密度方程式與機率流定義式代入,

這相等式對於任意三維區域 都成立,所以,被積項目在任何位置都必須等於零:

範例

平面波

設定一個粒子的波函數 為三維空間的平面波

其中,振幅常數,波數 是位置,角頻率 是時間。

的機率流是

這只是振幅的平方乘以粒子的速度

請注意,雖然這平面波是定態,在每一個的地點, ,但是機率流仍舊不等於 。因此可以推論,雖然機率密度不顯性地跟時間有關,粒子仍可能移動於空間中。

盒中粒子

一維盒子位勢,即一個無限深方形阱,阱內位勢為 0 ,阱外位勢為無限大。

思考一維盒中粒子問題,能級為 本徵波函數

其中, 是一維盒子的寬度,兩扇盒壁的位置分別在

由於 ,其機率流為

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