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欧几里得定理

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欧几里得定理数论中的基本定理,定理指出素数无限的。该定理有许多著名的证明。

欧几里得的证明[编辑]

欧几里得在他的著作《几何原本》(Book IX, Proposition 20)[1]提出了以下的证明。

对任何有限素数的集合。令。那么是素数或者不是,二者必居其一:

1. 如果是素数,那么至少有一个素数因子不在有限素数集

2. 如果不是素数,那么存在一个素数因子整除,如果在我们的有限素数集中,必然整除(既然是素数有限集中所有素数的积);但是,已知整除(),如果同时整除必然整除之差 —— 。但是没有素数能整除,即有整除就不存在整除。因此不在有限集中。

这证明了:对于任何一个有限素数集,总存在一个素数不在其中。所以素数一定是无限的。

参阅[编辑]

注释和参考资料[编辑]

  1. ^ James Williamson (translator and commentator), The Elements of Euclid, With Dissertations, Clarendon Press, Oxford, 1782, page 63.

外部链接[编辑]