欧拉准则

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数论中,二次剩餘歐拉判別法(又稱歐拉準則)是用来判定给定的整数是否是一个质数二次剩余

叙述[编辑]

p是奇質數p不能整除d,則:

d是模p的二次剩餘当且仅当
d^{ \frac{p-1}{2}} \equiv 1 \pmod{p}
d是模p的非二次剩餘当且仅当:
d^{ \frac{p-1}{2}} \equiv -1 \pmod{p}

勒让德符号表示,即為: d^{ \frac{p-1}{2}} \equiv \left( \frac{d}{p}\right) \pmod{p}

举例[编辑]

例子一:对于给定数,寻找其为二次剩余的模数[编辑]

a = 17。对于怎样的质数p,17是模p的二次剩余呢?

根据判别法里给出的准则,我们可以从小的质数开始检验。

首先测试p = 3。我们有:17(3 − 1)/2 = 171 ≡ 2 (mod 3) ≡ -1 (mod 3),因此17不是模3的二次剩余。

再来测试p = 13。我们有:17(13 − 1)/2 = 176 ≡ 1 (mod 13),因此17是模13的二次剩余。实际上我们有:17 ≡ 4 (mod 13),而22 = 4.

运用同余性质和勒让德符号可以加快检验速度。继续算下去,可以得到:

对于质数p =13, 19, \cdots,(17/p) = +1(也就是说17是模这些质数的二次剩余)。
对于质数p =3, 5, 7, 11, 23, \cdots,(17/p) = +1(也就是说17是模这些质数的二次非剩余)。

例子二:对指定的质数p,寻找其二次剩余[编辑]

哪些数是模17的二次剩余?

我们可以手工计算:

12 = 1
22 = 4
32 = 9
42 = 16
52 = 25 ≡ 8 (mod 17)
62 = 36 ≡ 2 (mod 17)
72 = 49 ≡ 15 (mod 17)
82 = 64 ≡ 13 (mod 17)

于是得到:所有模17的二次剩余的集合是{1,2,4,8,9,13,15,16}。要注意的是我们只需要算到8,因为9=17-8,9的平方与8的平方模17是同余的:92 = (−8)2 = 82 ≡ 13 (mod 17).(同理不需计算比9大的数)。

但是对于验证一个数是不是模17的二次剩余,就不必将所有模17的二次剩余全部算出。比如说要检验数字3是否是模17的二次剩余,只需要计算3(17 − 1)/2 = 38 ≡ 812 ≡ ( − 4)2 ≡ − 1 (mod 17),然后由欧拉准则判定3不是模17的二次剩余。

欧拉准则与高斯引理以及二次互反律有关,并且在定义欧拉-雅可比伪素数(见伪素数)时会用到。

證明[编辑]

首先,由于p 是一个奇素数,由费马小定理d^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}。但是p-1是一个偶数,所以有

(d^{ \frac{p-1}{2} } -1) \cdot (d^{ \frac{p-1}{2} }+1) \equiv 0 \pmod{p}

p 是一个素数,所以d^{ \frac{p-1}{2} } -1d^{ \frac{p-1}{2} }+1 中必有一个是p 的倍数。因此d^{ \frac{p-1}{2} } p的余数必然是1或-1。

  • 證明若d是模p的二次剩餘,則d^{ \frac{p-1}{2}} \equiv 1 \pmod{p}

d是模p的二次剩餘,則存在 x^2 \equiv d \pmod{p}pd,x互質。根據費馬小定理得:

d^{ \frac{p-1}{2}} \equiv x^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}
  • 證明若d^{ \frac{p-1}{2} } \equiv 1 \pmod{p},則d是模p的二次剩餘

p 是一个奇素数,所以关于p原根存在。设ap的一个原根,则存在1 \le j \le p-1使得d=a^j。于是

a^{j \frac{p-1}{2} } \equiv 1 \pmod{p}

ap的一个原根,因此ap的指数是p-1,于是p-1整除 \frac{ j(p-1) }{2} 。这说明j是一个偶数。令i = \frac{j}{2},就有(a^i)^2 =a^{2i} = dd是模p的二次剩余。

參考资料[编辑]

外部链接[编辑]