欧米加常数

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欧米加常数是一个数学常数,定义为:

\Omega\,\exp(\Omega)=1.\,

它是W(1)的值,其中W朗伯W函数

Ω的值大约为0.5671432904097838729999686622 (OEIS中的数列A030178)。它具有以下的性质:

 e^{-\Omega}=\Omega,\,

 \ln (1/\Omega) = \Omega.

我们可以用迭代的方法来计算Ω,从Ω0开始,用下面的数列进行迭代:

 \Omega_{n+1}=e^{-\Omega_n}.\,

n→∞时,这个数列收敛于Ω。

无理数和超越数[编辑]

我们可以用e超越数的事实来证明Ω是无理数。如果Ω是有理数,则存在整数pq,使得

 \frac{p}{q} = \Omega

所以

 1 = \frac{p e^{\frac{p}{q}}}{q}
 e = \sqrt[p]{\frac{q^q}{p^q}}

这样,e就是p代数数。但是,e实际上是超越数,所以Ω一定是无理数。

Ω实际上也是一个超越数,这可以由林德曼-魏尔斯特拉斯定理直接推出。如果Ω是代数数,exp(Ω)将会是超越数,exp−1(Ω)也是超越数。但这与它是代数数的假设矛盾。

参见[编辑]

参考文献[编辑]

外部链接[编辑]