歐拉-拉格朗日方程(英语:Euler-Lagrange equation)為變分法中的一條重要方程。它提供了求泛函的臨界值(平穩值)函數,換句話說也就是求此泛函在其定義域的臨界點的一個方法,與微積分差異的地方在於,泛函的定義域為函數空間而不是
。
第一方程[编辑]
設
,以及
在
中連續,並設泛函
。
若
使得泛函
取得局部平穩值,則對於所有的
,
。
推廣到多維的情況,記
,
,
。
若
使得泛函
取得局部平穩值,則在區間
內對於所有的
,皆有
。
第二方程[编辑]
設
,及
在
中連續,若
使得泛函
取得局部平穩值,則存在一常數
,使得
。
設
及
為直角坐標上的兩個固定點,欲求連接兩點之間的最短曲線。設
,並且
;
這裏,
為連接兩點之間的曲線。則曲線的弧長為
。
現設
,
,
取偏微分,則
,
,
。
若
使得
取得局部平穩值,則
符合第一方程:
,
。
因此,
,
。
隨
積分,
,
;
這裏,
為常數。重新編排,
,
。
再積分,
,
。
代入初始條件
,
;
即可解得
,是連接兩點的一條線段。
另經過其他的分析,可知此解為唯一解,並且該解使得
取得極小值,所以在平面上連結兩點間弧長最小的曲線為一直線。
參考書籍[编辑]
- Troutman, John L. Variational Calculus and Optimal Control, 2nd edition, (Springer, 1995), ISBN 978-0387945118.