歐拉－拉格朗日方程

歐拉-拉格朗日方程 (Euler-Lagrange equation) 為變分法中的一條重要方程。它提供了求泛函的臨界值（平穩值）函數，也就是此泛函的臨界點的一個方法。

第一方程

設 $f=f(x,\ y,\ z)$ ，以及 $f_y,\ f_z$ 在 $[a,\ b]\times\mathbb{R}^2$ 中連續，並設泛函

$J(y)=\int_a^b f(x, y(x), y'(x))dx$ 。

若 $y\in C^1[a,\ b]$ 使得泛函 $J(y)$ 取得局部平穩值，則對於所有的 $x\in(a,\ b)$ ，

$\frac{d}{dx}\frac{\partial}{\partial y'}f(x, y, y')=\frac{\partial}{\partial y}f(x, y, y')$ 。

推廣到多維的情況， 記

$\vec{y}(x)=(y_1(x), y_2(x), \ldots, y_n(x))$ ，

$\vec{y}'(x)=(y'_1(x), y'_2(x), \ldots, y'_n(x))$ ，

$f(x, \vec{y}, \vec{y}')=f(x, y_1(x), y_2(x), \ldots, y_n(x), y'_1(x), y'_2(x), \ldots, y'_n(x))$ 。

若 $\vec{y}'(x)\in(C^1[a, b])^n$ 使得泛函 $J(\vec{y})=\int_a^bf(x, \vec{y}, \vec{y}')dx$ 取得局部平穩值，則在區間 $(a,\ b)$ 內對於所有的 $i=1,\ 2,\ \ldots,\ n$ ，皆有

$\frac{d}{dx}\frac{\partial}{\partial y'_i}f(x, \vec{y}, \vec{y}')=\frac{\partial}{\partial y_i}f(x, \vec{y}, \vec{y}')$ 。

第二方程

設 $f=f(x,\ y,\ z)$ ，及 $f_y,\ f_z$ 在 $[a,\ b]\times\mathbb{R}^2$ 中連續，若 $y\in C^1[a,\ b]$ 使得泛函 $J(y)=\int_a^b f(x, y(x), y'(x))dx$ 取得局部平穩值，則存在一常數 $C$ ，使得

$f(x, y, y')-y'(x)f_{y\,'}(x, y, y')=\int_a^x f_x(x(t), y(t), y'(t))dt+C$ 。

例子

設 $(0,\ 0)$ 及 $(a,\ b)$ 為直角坐標上的兩個固定點，欲求連接兩點之間的最短曲線。設 $(x(t),\ y(t)) (t\in[0,\ 1])$ ，並且

$(x(0),\ y(0))=(0,\ 0),\ (x(1),\ y(1))=(a,\ b)$ ；

這裏，$(x(t),\ y(t))\in C^1[0,\ 1]$ 為連接兩點之間的曲線。則曲線的弧長為

$L(y)=\int_0^1\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}dt$ 。

現設

$\vec{y}(t)=(x(t),\ y(t))$ ，

$f(t,\ \vec{y}(t),\ \vec{y}'(t))=\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}$ ，

取偏微分，則

$f_{x'}=\frac{x'(t)}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}$ ，

$f_{y'}=\frac{y'(t)}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}$ ，

$f_x=f_y=0$ 。

若 $y$ 使得 $L(y)$ 取得局部平穩值，則 $y$ 符合第一方程：

$\frac{d}{dt}f_{x'}(t, y, y')=f_x(t, y, y')=0$ ，

$\frac{d}{dt}f_{y'}(t, y, y')=f_y(t, y, y')=0$ 。

因此，

$\frac{d}{dt}\frac{x'}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}=0$ ，

$\frac{d}{dt}\frac{y'}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}=0$ 。

隨 $t$ 積分，

$\frac{x'}{\sqrt{x'^2+y'^2}}=C_0$ ，

$\frac{y'}{\sqrt{x'^2+y'^2}}=C_1$ ；

這裏，$C_0,\ C_1$ 為常數。重新編排，

$x'=\sqrt{\frac{C_0^2}{1-C_0^2}}=r$ ，

$y'=\sqrt{\frac{C_1^2}{1-C_1^2}}=s$ 。

再積分，

$x(t)=rt+r'$ ，

$y(t)=st+s'$ 。

代入初始條件

$(x(0),\ y(0))=(0,\ 0)$ ，

$(x(1),\ y(1))=(a,\ b)$ ；

即可解得 $(x(t),\ y(t))=(at,\ bt)$ ，是連接兩點的一條線段。

另經過其他的分析，可知此解為唯一解，並且該解使得 $L(y)$ 取得極小值，所以在平面上連結兩點間弧長最小的曲線為一直線。

參閱

• 拉格朗日方程式
• 變分法
• 作用量
• 哈密頓原理

參考書籍

• Troutman, John L. Variational Calculus and Optimal Control, 2nd edition, (Springer, 1995), ISBN 978-0387945118.