歐拉-拉格朗日方程

歐拉-拉格朗日方程（Euler-Lagrange equation）為變分法中的一條重要方程。它提供了求泛函的臨界值（平穩值）函數，也就是此泛函的臨界點的一個方法。

第一方程

設$f=f(x,\ y,\ z)$，以及$f_y,\ f_z$在$[a,\ b]\times\mathbb{R}^2$中連續，並設泛函

$J(y)=\int_a^b f(x, y(x), y'(x))dx$。

若$y\in C^1[a,\ b]$使得泛函$J(y)$取得局部平穩值，則對於所有的$x\in(a,\ b)$，

$\frac{d}{dx}\frac{\partial}{\partial y'}f(x, y, y')=\frac{\partial}{\partial y}f(x, y, y')$。

推廣到多維的情況，記

$\vec{y}(x)=(y_1(x), y_2(x), \ldots, y_n(x))$，

$\vec{y}'(x)=(y'_1(x), y'_2(x), \ldots, y'_n(x))$，

$f(x, \vec{y}, \vec{y}')=f(x, y_1(x), y_2(x), \ldots, y_n(x), y'_1(x), y'_2(x), \ldots, y'_n(x))$。

若$\vec{y}'(x)\in(C^1[a, b])^n$使得泛函$J(\vec{y})=\int_a^bf(x, \vec{y}, \vec{y}')dx$取得局部平穩值，則在區間$(a,\ b)$內對於所有的$i=1,\ 2,\ \ldots,\ n$，皆有

$\frac{d}{dx}\frac{\partial}{\partial y'_i}f(x, \vec{y}, \vec{y}')=\frac{\partial}{\partial y_i}f(x, \vec{y}, \vec{y}')$。

第二方程

設$f=f(x,\ y,\ z)$，及$f_y,\ f_z$在$[a,\ b]\times\mathbb{R}^2$中連續，若$y\in C^1[a,\ b]$使得泛函$J(y)=\int_a^b f(x, y(x), y'(x))dx$取得局部平穩值，則存在一常數$C$，使得

$f(x, y, y')-y'(x)f_{y\,'}(x, y, y')=\int_a^x f_x(x(t), y(t), y'(t))dt+C$。

例子

設$(0,\ 0)$及$(a,\ b)$為直角坐標上的兩個固定點，欲求連接兩點之間的最短曲線。設$(x(t),\ y(t)) (t\in[0,\ 1])$，並且

$(x(0),\ y(0))=(0,\ 0),\ (x(1),\ y(1))=(a,\ b)$；

這裏，$(x(t),\ y(t))\in C^1[0,\ 1]$為連接兩點之間的曲線。則曲線的弧長為

$L(y)=\int_0^1\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}dt$。

現設

$\vec{y}(t)=(x(t),\ y(t))$，

$f(t,\ \vec{y}(t),\ \vec{y}'(t))=\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}$，

取偏微分，則

$f_{x'}=\frac{x'(t)}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}$，

$f_{y'}=\frac{y'(t)}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}$，

$f_x=f_y=0$。

若$y$使得$L(y)$取得局部平穩值，則$y$符合第一方程：

$\frac{d}{dt}f_{x'}(t, y, y')=f_x(t, y, y')=0$，

$\frac{d}{dt}f_{y'}(t, y, y')=f_y(t, y, y')=0$。

因此，

$\frac{d}{dt}\frac{x'}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}=0$，

$\frac{d}{dt}\frac{y'}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}=0$。

隨$t$積分，

$\frac{x'}{\sqrt{x'^2+y'^2}}=C_0$，

$\frac{y'}{\sqrt{x'^2+y'^2}}=C_1$；

這裏，$C_0,\ C_1$為常數。重新編排，

$x'=\sqrt{\frac{C_0^2}{1-C_0^2}}=r$，

$y'=\sqrt{\frac{C_1^2}{1-C_1^2}}=s$。

再積分，

$x(t)=rt+r'$，

$y(t)=st+s'$。

代入初始條件

$(x(0),\ y(0))=(0,\ 0)$，

$(x(1),\ y(1))=(a,\ b)$；

即可解得$(x(t),\ y(t))=(at,\ bt)$，是連接兩點的一條線段。

另經過其他的分析，可知此解為唯一解，並且該解使得$L(y)$取得極小值，所以在平面上連結兩點間弧長最小的曲線為一直線。

參閱

• 拉格朗日方程式
• 變分法
• 作用量
• 哈密頓原理

參考書籍

• Troutman, John L. Variational Calculus and Optimal Control, 2nd edition, (Springer, 1995), ISBN 978-0387945118.