歐拉-拉格朗日方程

歐拉-拉格朗日方程（英语：Euler-Lagrange equation）為變分法中的一條重要方程。它提供了求泛函的臨界值（平穩值）函數，換句話說也就是求此泛函在其定義域的臨界點的一個方法，與微積分差異的地方在於，泛函的定義域為函數空間而不是 $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ 。

第一方程[编辑]

設 $f=f(x,\ y,\ z)$ $f=f(x,\ y,\ z)$ ，以及 $f_{y},\ f_{z}$ $f_y,\ f_z$ 在 $[a,\ b]\times \mathbb {R} ^{2}$ $[a,\ b]\times\mathbb{R}^2$ 中連續，並設泛函

J(y)=\int_a^b f(x, y(x), y'(x))dx

。

若 $y\in C^{1}[a,\ b]$ $y\in C^1[a,\ b]$ 使得泛函 $J(y)$ $J(y)$ 取得局部平穩值，則對於所有的 $x\in (a,\ b)$ $x\in(a,\ b)$ ，

\frac{d}{dx}\frac{\partial}{\partial y'}f(x, y, y')=\frac{\partial}{\partial y}f(x, y, y')

。

推廣到多維的情況，記

\vec{y}(x)=(y_1(x), y_2(x), \ldots, y_n(x))

，

\vec{y}'(x)=(y'_1(x), y'_2(x), \ldots, y'_n(x))

，

f(x, \vec{y}, \vec{y}')=f(x, y_1(x), y_2(x), \ldots, y_n(x), y'_1(x), y'_2(x), \ldots, y'_n(x))

。

若 ${\vec {y}}'(x)\in (C^{1}[a,b])^{n}$ $\vec{y}'(x)\in(C^1[a, b])^n$ 使得泛函 $J({\vec {y}})=\int _{a}^{b}f(x,{\vec {y}},{\vec {y}}')dx$ $J(\vec{y})=\int_a^bf(x, \vec{y}, \vec{y}')dx$ 取得局部平穩值，則在區間 $(a,\ b)$ $(a,\ b)$ 內對於所有的 $i=1,\ 2,\ \ldots ,\ n$ $i=1,\ 2,\ \ldots,\ n$ ，皆有

\frac{d}{dx}\frac{\partial}{\partial y'_i}f(x, \vec{y}, \vec{y}')=\frac{\partial}{\partial y_i}f(x, \vec{y}, \vec{y}')

。

第二方程[编辑]

設 $f=f(x,\ y,\ z)$ $f=f(x,\ y,\ z)$ ，及 $f_{y},\ f_{z}$ $f_y,\ f_z$ 在 $[a,\ b]\times \mathbb {R} ^{2}$ $[a,\ b]\times\mathbb{R}^2$ 中連續，若 $y\in C^{1}[a,\ b]$ $y\in C^1[a,\ b]$ 使得泛函 $J(y)=\int _{a}^{b}f(x,y(x),y'(x))dx$ $J(y)=\int_a^b f(x, y(x), y'(x))dx$ 取得局部平穩值，則存在一常數 $C$ $C$ ，使得