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歐拉-拉格朗日方程

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歐拉-拉格朗日方程(英語:Euler-Lagrange equation)為變分法中的一條重要方程。它是一个二阶偏微分方程。它提供了求泛函的臨界值(平穩值)函數,換句話說也就是求此泛函在其定義域的臨界點的一個方法,與微積分差異的地方在於,泛函的定義域為函數空間而不是

该方程由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉与意大利数学家约瑟夫·拉格朗日在1750年代提出。

第一方程[编辑]

,以及中連續,並設泛函

使得泛函取得局部平穩值,則對於所有的

推廣到多維的情況,記

使得泛函取得局部平穩值,則在區間內對於所有的,皆有

第二方程[编辑]

,及中連續,若使得泛函取得局部平穩值,則存在一常數,使得

例子[编辑]

例一:两点之间最短曲线[编辑]

為直角坐標上的兩個固定點,欲求連接兩點之間的最短曲線。設,並且

這裏,為連接兩點之間的曲線。則曲線的弧長為

現設

取偏微分,則

使得取得局部平穩值,則符合第一方程:

因此,

積分,

這裏,為常數。重新編排,

再積分,

代入初始條件

即可解得,是連接兩點的一條線段。

另經過其他的分析,可知此解為唯一解,並且該解使得取得極小值,所以在平面上連結兩點間弧長最小的曲線為一直線。

例二:两点之间最短曲线的另一种求解[编辑]

另一个例子同样是求定义在区间[a, b]上的实值函数y满足y(a) = cy(b) = d,并且沿着y所定义的曲线道路长度最短。

被积函数为

L的偏导数为

以及

把上面两式代入欧拉-拉格朗日方程,可以得到

也就是说,该函数的一阶导数必须为常值,因此其图像直线

參閱[编辑]

參考書籍[编辑]

  • Troutman, John L. Variational Calculus and Optimal Control, 2nd edition, (Springer, 1995), ISBN 978-0387945118.